测量平差第1章观测误差及其传播.pptVIP

由上可知，观测值的协因数和（权倒数）与方差成正比，而协因数（相关权倒数）与协方差成正比。协因数，与权和有类似的作用，它们是比较观测值精度高低的一种指标；而协因数是比较观测值之间相关程度的一种指标，我们可以利用这种指标来证明随机向量间的相关或不相关。设有观测值向量（或者是观测值函数向量）X和Y，它们的方差阵分别为和，X关于Y的互协方差阵为单位权方差为。令：（1-7-3）或写为：（1-7-4）称为X的协因数阵，为Y的协因数阵，为X关于Y的互协因数阵。协因数阵中的主对角线元素就是各个的权倒数，它的非主对角线元素是关于的相关权倒数；中的元素就是关于的相关权倒数。也称为的X权逆阵，为Y的权逆阵，互协因数阵为X关于Y的相关权逆阵。特别地，当时，X和Y是互相独立的观测值向量；当时，X和Y是相关的观测值向量。设有独立观测值，其方差为，权为，单位权方差为。X的协因数阵为则有 （1-7-5）称为的权阵。当是对角阵时，权阵的主对角线元素是的权；当是非对角阵时，权阵的主对角线元素不再是的权了，权阵的各个元素也不再有权的意义了。但是，相关观测值向量的权阵在平差计算中，也能同样起到同独立观测值向量的权阵一样的作用。二、协因数传播律由协因数阵定义可知，协因数阵可以由协方差阵乘上常数得到。根据协方差传播律，我们可以方便地得到由观测向量的协因数阵求其函数的协因数阵的计算公式，从而也就得到了函数的权。设有观测值向量和的线性函数：（1-7-6）X的协因数阵，Y的协因数阵，X关于Y的互协因数阵为（），、、、为常系数阵。假设单位权方差为，X的方差阵，Y的方差阵，X关于Y的互协方差阵为（）。由协方差传播律，并顾及协因数阵与协方差阵的关系式，得（1-7-7）（1-7-8）处展开为：将函数式按台劳级数在点（1-5-25）式中是函数对各个变量所取的偏导数，并以近似值代入所算得的数值，它们都是常数，当与非常接近时，上式中二次以上各项很微小，可以略去，将上式写为：令：得：（1-5-26）这样，就将非线性函数式化成了线性函数式，然后用线性函数的协方差传播律计算协方差。如果令：（1-5-27）则（1-5-25）式可写为（1-5-28）上式是非线性函数（1-5-24）式的全微分。根据协方差传播律：为了求非线性函数的方差，只要对它求全微分就可以了。2．多个非线性函数如果有X的t个非线性函数（1-5-29）将个函数求全微分得（1-5-30）若记 （1-5-31）因此，对于非线性函数，首先将其线性化，然后用线性函数的协方差传播律计算。线性化方法可用台劳级数展开或求全微分。则有：（1-5-32） （1-5-33）根据协方差传播律得的协方差阵：例[1-4]量得某矩形的长和宽为和，且，计算该矩形面积的方差。解：面积：用协方差传播律得：在某些情况下，先取对数然后再全微分能简化计算。对函数式取自然对数：对上式全微分：化简得：用协方差传播律得：矩形量测的面积方差的几何解释如下图所示。如果和能精确得到，面积误差为：和是高阶无穷小，可以忽略不计。事实上和难以精确得到，我们用代替和用代替，则表示矩形下面的阴影部分面积误差，表示矩形右面的阴影部分面积误差。由于和均可正可负，我们用两者的平方和表示面积的方差。对