预习篇 第17讲 空间直线、平面的垂直 2024年高一寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）（解析版）.docx

第17讲空间直线、平面的垂直

本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！

1线面垂直

(1)定义

若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.

符号表述:若任意a?α都有l

(2)判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.

符号表述:a，b?α

(3)性质定理

垂直同一平面的两直线平行

符号表述：a⊥

2面面垂直

(1)定义

若二面角α-l-β的平面角为

(2)判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

a?αa⊥

(3)性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.

【题型1】线面垂直的判定

【知识点解读】

1定义

若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.

符号表述:若任意a?α都有l

2判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.

符号表述:a，b?α

解释

(1)定理中两条直线必须是相交的；

判断

①如果一条直线与一个平面内的两条平行直线垂直，那么该直线与此平面垂直(×)

②如果一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，那么该直线与此平面垂直(×)

(2)简证：(由向量的基本定理和线面垂直的定义可证)

设直线l，a，b对应的向量是

由于直线a，b相交，若平面α内任意直线c所对的向量

则l?c=

即直线l与平面α内任意直线垂直，即l⊥

(3)该定理说明线面垂直可转化为线线垂直.

【典题1】如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=

解析证明因为PA=PB=PC=

所以OP⊥AC

连接OB，又AB

所以△ABC为等腰直角三角形，且

由OP2

由OP⊥OB，OP⊥AC，OB

所以PO⊥平面

【巩固练习】

1.(★★)如图，已知空间四边形ABDC中，AB=AC，DC=

解析证明：取AB中点E，连接DE、CE，

同理DE⊥

∵CE∩DE

2.(★★)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，

解析证明：连接MO．

易得A1D=A1

∴A1O⊥DB．

在矩形A1ACC1中，tan?∠AA1O=22，tan?∠

【题型2】线面垂直的性质

【知识点解读】

性质定理

垂直同一平面的两直线平行

符号表述：a⊥

证明假设b与a不平行，且b?α=O，显然点

所以点O与直线a可确定一个平面，在该平面内过点O作直线

则直线b与b是相交于点O的两条不同直线，所以直线b与b可确定平面

设α∩β=

因为a⊥α，

又因为b//a

这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b

因此b//

(证明使用了反证法)

【典题1】如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，

A．62 B．6 C．12 D．

解析因为在△ABC中，AB

由余弦定理可得AC

又因为PA⊥平面ABC，所以PA

所以△PAC

又因为PA=6

所以在直角三角形PAC中由勾股定理可得：PC

所以PC=12

故选：C．

【典题2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1

E是

(1)求证：PA∥平面BDE；(2)求证：BD⊥平面

解析证明：(1)如图，设AC与DB交于点F，连接

因为底面ABCD是正方形，所以F是

因为E是侧棱PC上的动点，所以EF∥

因为EF?平面BDE，PA?平面BDE，所以

(2)因为PB=

所以PC2+

因为BC∩DC=C，BC，

因为DB?平面ABCD，所以PC

因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥

因为PC∩AC=C，PC，

【巩固练习】

1.(★)如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，

A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC C．AD⊥平面PBC D

答案D

解析在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC

又AB⊥BC，PA∩AB=

由PA=AB，

而BC⊥平面PAB，AD?平面

则AD⊥平面PBC，所以AD⊥PC

若PB⊥平面ADC，可得PB⊥CD，而BC⊥平面

可得在平面PBC内，B与D重合，显然矛盾，故

故选：D．

2.(★★)在长方体ABCD-A1B1C1D1

A．A1E⊥DD1 B．A1E

答案B

解析连结AE，BD，因为AB=

所以△ABD∽△DAE

所以∠EAB+∠ABD

所以BD⊥平面A1AE

故选：B．

3.(★★)如图，已知平行四边形ABCD中，|AD|=4，|CD|=3，∠D=60°，PA

答案7

解析由余弦定理有AC

∴AC

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA

∴PC

故答案为：7．

4.(★★★)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠AB