数学物理方法(第3版)课件：拉普拉斯变换.pptx

拉普拉斯变换

本章将继续讨论积分变换，介绍另一个重要的积分变换—拉普拉斯变换。首先给出了拉普拉斯变换的定义；接着讨论了指数阶函数的拉普拉斯变换存在定理；分析了拉普拉斯变换的基本性质和卷积定理，最后给出了如何用拉普拉斯变换求解常微分方程。;

§3.1拉普拉斯变换的基本原理

§3.2拉氏变换的性质§3.3拉氏变换的卷积定理§3.4拉氏逆变换及其应用;

§3.1.1拉普拉斯变换的概念

§3.1.2周期脉冲函数拉普拉斯变换的计算方法;

函数h(x)、cosx、sinx、Re(s)p、xsinx、ex这样一些常见

函数都是指数阶函数。;;

上述讨论说明，若对傅立叶积分中函数所乘的因子ejOx做一些变动，可以使常见的指数阶函数的积分变换存在且收敛。受到启发，取s=+jO，用e一sx代替傅立叶积分中的e一jOx就可以得到拉普拉斯变换，下面是它的数学定义。;;

由于f(x)esx=f(x)ex，虽然f(x)有时不满足绝对可积的条件，但是f(x)ex很容易满足绝对可积的条件，这样函数的拉氏变

换比傅氏变换更容易收敛，特别是常见的指数阶函数的拉氏变换基本上都是存在的。;

3.1.1拉普拉斯变换的概念

定理3.1指数阶函数拉普拉斯变换存在定理。若实值函数f(x)满足条件：(1)在x0的任一有限区间上分段连续；(2)在x充分大后，f(x)是指数阶函数，即f(x)共Mepx(M0,p0)。那么f(x)的拉氏变换f(s)在半平面Re(s)p上一定存在，并且f(s)是收敛域上的解析函数。

证：在Re(s)=bp以后，由条件(2)可知

f(s)=j0f(x)e_sxdx共j0f(x)e_bxdx共Mj0epxe_bxdx=

上式左端的积分绝对收敛，即积分收敛，这意味着f(s)是存在的。由于

与s无关，所以积分也是一致收敛的。;;

定理3.1并没有完全解决拉氏变换的求解。

因为一般遇到的指数阶函数都是定义在(-,+)区间上的，而拉氏变换的定义域是[0,+)半区间上的，所求的拉氏变换只是函数某一部分的拉氏变换，对于没有求拉氏变换的那一部分的函数是怎么处理呢？

这个问题可以根据拉氏变换的唯一性做出约定。为了保持象函数和象原函数是唯一对应的关系，可???约定函数超出拉氏变换所定义区间的那部分值为零。;

3.1.1拉普拉斯变换的概念

例如h(x)；sign(x)；常数1，这三个函数有同一个象函数。

因为按照在上面对函数求拉氏变换时所做的约定，这三个函数在求拉氏变换时已经被重新定义为

1=〈;h(x)=〈;sgn(x)=〈

所以这三个函数已经自动成为h(x)，对同一个象原函数而言，它的象原函数自然相同。;

3.1.1拉普拉斯变换的概念

拉氏逆变换的求法。

由本节开始关于变换的定义可以看到，并没有定义拉氏逆变换的求解公式。

因此，求解逆变换的方法有两个：一是找出逆变换的公式求解，后面专门有一节去谈这个问题，但由于计算过于繁杂，很少被采用；二是承认拉氏逆变换与拉氏变换是唯一对应的(尽管证明这个问题不是一件很容易的事)，应用一些已知的变换和后面要谈到的拉氏变换性质去反推，这是工程广泛采用的求解方法。;

L[sinkx]=

L[6(x)]=1

L[xm]=(m-1);

周期脉冲函数的拉氏变换定理3.2设f(x)是以T为周期的函

数，则有

L[f(x)]=j0f(x)e-sxdx(3.1-10);;

3.2拉氏变换的性质

性质1拉氏变换是线性变换

性质2拉氏变换具有相似性

性质3拉氏变换的微分性质

性质4象函数的微分性质

性质5积分的象函数

性质6象函数的积分

性质7延迟定理

性质8拉氏变换的位移定理;

3.2拉氏变换的性质

性质1拉氏变换是线性变换。设f(s)=L[f(x)],g(s)=L[g(x)]，常数a和b，则有;;

=f(x)e一sx|+sj0f(x)e一sxdx

x)w

按照拉氏变换存在定理3.1可知，若s=b+jO，则有0共|f(x)e一sx|共Mepx.e一bx=Me一