专题1-2 向量的数量积，基本定理及坐标表示13类题型133题（解析版）.docx

专题1-2向量的数量积，基本定理及坐标表示13类题型133题

TOC\o1-4\n\h\z\u知识点梳理

题型一利用定义求向量的数量积

题型二向量垂直的应用

题型三向量模长相关计算

题型四向量夹角相关计算

题型五向量的投影向量

题型六对向量基本定理的概念理解

题型七基底的判断

题型八向量的坐标运算

题型九利用坐标求向量共线，垂直问题

题型十数量积的坐标运算

题型十一利用坐标求向量的夹角

题型十二利用坐标求向量的模长

题型十三利用坐标表示投影向量

知识点梳理

一、向量的数量积

1、向量的夹角

（1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角．

（2）性质：当时，与同向；当时，与反向．

（3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．

2、向量的数量积的定义

a?b的几何意义是a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos?θ的乘积。a?b也等于|b|与a在b方向上的投影|

（1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)；

（2）记法：向量与的数量积记作，即；

零向量与任一向量的数量积为0；

3、向量在上的投影向量

（1）设，是两个非零向量，，，

考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．

（2）在平面内任取一点O，作，，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且

（3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积

4、平面向量数量积的性质

设，都是非零向量，是与同方向的单位向量，θ为与(或)的夹角．则

（1）；

（2）；

（3）当与同向时，；当与反向时，；

特别地，或；

（4）；

（5）

5、平面向量数量积的运算律

（1）；

（2）(λ为实数)；

（3）；

（4）两个向量，的夹角为锐角?且，不共线；

两个向量，的夹角为钝角?且，不共线．

（5）平面向量数量积运算的常用公式

二、平面向量基本定理

1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使

2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

3、对平面向量基本定理的理解

（1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．

（2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．

（3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，．

（4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．

4、平面向量基本定理的应用

（1）平面向量基本定理唯一性的应用：

设，是同一平面内的两个不共线向量，

若，则

（2）重要结论设是平面内一个基底，

若，

=1\*GB3①当时，与共线；=2\*GB3②当时，与共线；=3\*GB3③当时，；

三、平面向量的坐标运算

1、向量和差运算：已知，则，．

结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．

2、向量数乘运算：若，则；

结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

3、向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是

题型一利用定义求向量的数量积

【例题讲解】

已知向量，满足，，则

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】B

【解析】向量，满足，，则，故选．

已知等边三角形的边长为1，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用向量的数量积公式计算得到答案.

【详解】因为，且向量与的夹角为，所以

（2021新高考2卷）已知向量_______．

【答案】

【解析】方法一：因为，所以，即

所以，所以，所以

方法二：因为，所以，所以，即

所以，所以，

同理，所以，即，所以，所以，

同理，所以，即，所以，所以，

所以

【巩固练习】

已知向量，满足，且与的夹角为，则（）

A．6B．8C．10D．14

【答案】B

【解析】`由，且与的夹角为，

所以.故选：B.

设向量与夹角的余弦值为，且，则（????）

A． B． C．3 D．-3

【答案】B

【分析】根据数量积的运算律，结合数列的定义式，可得答案.

【详解】.

设向量，的夹角的余弦值为，且，，则.

【答案】

【分析】利用平面向量数量积的运算求解即可.

【详解】已知向量，的夹角的余弦值为