吉林省长春市外国语学校2023-2024学年高三上学期期中考试 数学含答案.docx

长春外国语学校2023~2024学年第一学期期中考试高三年级

数学试卷

时间：110分钟满分：150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信

息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书

写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；

在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则中元素的个数为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．已知复数满足，则（????）

A． B． C． D．

3．在中，，则（????）

A． B． C． D．2

4．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，长轴长等于圆的半径，则椭圆的方程为()

A． B． C． D．

5．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．直线圆相交于，两点，则“”是“”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

7．设，若，则（????）

A． B． C． D．

8．已知，，若，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

二．多选题：本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.选对得5分，少选得2分，多选或错选得0分.

9．下列说法正确的是（????）

A．一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16

B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加个单位

C．数据的方差为，则数据的方差为

D．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于100

10．已知函数的图象为C，以下说法中正确的是（????）

A．函数的最大值为

B．图象C关于中心对称

C．函数在区间内是增函数

D．函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移可得到

11．在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，点满足，其中，，则下列说法正确的是（????）

A．当时，的面积的最大值为

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，有且仅有一个点，使得

D．当时，存在点，使得平面

12．已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（????）

A． B．是偶函数

C．关于中心对称 D．

第Ⅱ卷

三．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.

13．的展开式中含项的系数为.

14．已知数列的前n项和为，则=.

15．已知双曲线的左?右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为.

16．如图，圆柱的底面半径和母线长均为3，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面的一个动点，且，则四面体的外接球的体积为.

??

四、解答题：17题10分，18-22题每题12分，共70分.

17．已知数列的前项的和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

18．在中，内角..的对边分别为，且．

（1）求角的大小；

（2）若点满足，且，求的取值范围．

19．已知多面体，四边形是等腰梯形，，，四边形是菱形，，E，F分别为QA，BC的中点，.

??

(1)求证：平面平面；

(2)求点到平面的距离.

20．甲、乙两人进行“抗击新冠疫情”知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定先胜三局者获胜，比赛结束．假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立．

（1）求甲获胜的概率；

（2）设比赛结束时甲和乙共进行了局比赛，求随机变量的分布列及数学期望．

21．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值．

22．已知函数，其中a为实数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)是否存在实数a，使得恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明.

长春外国语学校2023-2024学年第一学期期中考试高三年级

数学试卷参考答案

1．B

【分析】化简集合，根据交集的定义求得，进而可求解.

【详解】因为，所以，

则