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对勾函数的七种变式和十种方法

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、

“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：=ax+（ab0）的函数；

对勾函数=ax+，当a≠0,b≠0时,对勾函数=ax+是正比例函数f(x)=ax与反比例函数“叠加”而成的函数；

（1）当a,b同号时,对勾函数=ax+的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：

（2）当a,b异号时,对勾函数=ax+的图像形状发生了变化，如下图所示：

2、对勾函数的变式

变式1、函数f

此类函数可变形为=ax++b，则f可由对勾函数y=ax+上下平移得到；变式2、函数f

此类函数可变形为-k,则f可由对勾函数y=x+左右平移,上下平移

得到；

变式3、函数f

此类函数可变形为

xx

变式4、函数f

此类函数可变形为可由

对勾函数y=ax+左右平移，上下平移得到；

x

变式5、函数f

此类函数可变形为

x+m

变式6、函数f

此类函数可变形为变式7、函数f

此类函数可变形为b-a=2+a+

十种求法探求对勾函数最值

一、均值不等式

“=”.∵x0,:y=x+当且仅当,即x=1

“=”.

∴当x=1的时候,ymin=2

二、判别式法

若y的最小值存在,则Δ=y2-4≥0必需存在，即y≥2或y≤-2(含）找到使y=2时,存在相应的x即可.通过观察当x=1的时候,ymin=2

三、单调性定义

设0x1x2

当对于任意的x1,x2,只有x1,x2∈(0,1]时,f(x1)-f(x2)0,:此时f(x)单调递增;当对于任意的x1,x2,只有x1,x2∈(1,+∞)时,f(x1)-f(x2)0,:此时f(x)单调递减.∴当x=1取到最小值,ymin=f(1)=2

四、复合函数的单调性

x在单调递增,y=t2+2在(-∞,0)单调递减;在[0,+∞)单调递增

又:x∈(0,1)→t∈(-∞,0)x∈[1,+∞)→t∈[0,+∞)

五、求一阶导

当x∈(0,1)时,y0,函数单调递减;当x∈[1,+∞)时，y0,函数单调递增.

:当x=1取到最小值,ymin=f(1)=2

六、三角代换

令x=tanα,α∈(|(0,),,则=cotα

兀兀∴当α=,即2α=时,max=1,ymin=2,显然此时x=1

兀兀

七、向量

y=x+=x.1+.1=a-.,a-=|((x,,),=(1,1)a-.=|a-|.||cosθi2|a-|cosθ

根据图象,a-为起点在原点，终点在图象上的一个向量,|a-|cosθ的几何意义为a-在b-上的投

影，显然当a-=时,|a-|cosθ取得最小值.此时,x=1,ymin=.=2

八、图象相减

y=x+表示函数y=x和y=—两者之间的距离求ymin,即为求两曲线坚直距离的最小值,平移直线y=x,显然当y=x与y=—相切时，两曲线坚直距离最小.

关于直线y=—x轴对称，若y=x与y=—在x1处有一交点,根据对称性,在0x1处也必有一个交点,即此时y=x与y=—相交.显然不是距离最小的情况.所以，切点一定为(1,—1)点.此

时,x=1,ymin=2

九、平面几何

依据直角三角形射影定理,设AE=x,EB=,则AB=AD=x+显然,x+为菱形的一条边,只用当AD丄AB,即AD为直线AB和CD之间的距离时,x+取得最小值.即四边形ABCD为矩形.

此时,即x=1,ymin=2

x

十、对应法则

设min=t,f=x2