【高考数学】二轮复习 专题15 立体几何解答题全归类（9大核心考点）（讲义）（解析版）.docx

专题15立体几何解答题全归类

【目录】

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7

考点一：非常规空间几何体为载体 7

考点二：立体几何探索性问题 9

考点三：立体几何折叠问题 10

考点四：立体几何作图问题 12

考点五：立体几何建系繁琐问题 13

考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 16

考点七：利用传统方法找几何关系建系 17

考点八：空间中的点不好求 19

考点九：创新定义 21

空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．

考点要求

考题统计

考情分析

线线角、二面角、线面角

2023年II卷第20题，12分

2023年北京卷第16题，13分

2022年I卷第19题，12分

2021年II卷第19题，12分

【命题预测】

预测2024年高考，多以解答题形式出现，高考仍将重点考查空间向量与立体几何，距离问题，异面直线夹角、线面角、二面角；解答题第一小题重点考查线线、线面、面面垂直的判定与性质，第二小问重点考查利用向量计算线面角或二面角，难度为中档题．

距离问题

2023年天津卷第17题，15分

体积问题

2023年乙卷第19题，12分

2022年乙卷第18题，12分

2021年上海卷第17题，14分

探索性问题

2023年I卷第18题，12分

2021年甲卷第19题，12分

2021年I卷第20题，12分

2021年北京卷第17题，14分

1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：

（1）作图：作出空间角的平面角．

（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．

（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．

简称：一作、二证、三算．

2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．

3、求直线与平面所成角的常见方法

（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．

（2）等积法：公式，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．

（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．

4、作二面角的平面角常有三种方法

（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．

（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．

（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．

1．（2023?北京）如图，四面体中，，，平面．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

2．（2023?天津）在三棱台中，若平面，，，，，分别为，中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

3．（2022?新高考Ⅰ）如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为．

（1）求到平面的距离；

（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

4．（2021?新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

5．（2021?新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

6．（2023?乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，．

（1）求证：平面；

（2）若，求三棱锥的体积．

7．（2022?乙卷）如图，四面体中，，，，为的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．

考点一：非常规空间几何体为载体

关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．

例1．（2023·上海虹口·高三统考期中）如图，在圆锥中，是底面的直径，且，，，是的中点．

??

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的余弦值．

例2．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的