北京市东城区2024-2025学年高三上学期期末统考数学试卷.docx

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北京市东城区2024-2025学年高三上学期期末统考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（???）

A． B． C． D．

2．在复平面内，复数，则的共轭复数对应的点的坐标是（???）

A． B． C． D．

3．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（???）

A． B． C． D．

4．近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一.现有一台计算机平均每秒可进行次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要次运算，则生成这个文案需要的时间约为（????）（本题取）

A．1秒 B．10秒 C．20秒 D．50秒

5．设等比数列的公比为，前项和为，使有最小值的一组和可以为（???）

A． B．

C． D．

6．已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．下列函数中，使既是奇函数又是增函数的是（???）

A．fx=1x B． C．

8．在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过三点，则该圆经过的整点共有（????）

A．6个 B．8个 C．10个 D．12个

9．如图，在棱长为6的正四面体中，以为顶点的圆锥在正四面体的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（???）

??

A． B． C． D．

10．已知．用表示中的最大值，设．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（???）

A． B． C． D．

二、填空题

11．函数的定义域为．

12．在的展开式中，的系数为．（用数字作答）

13．写出一个焦点在轴上且离心率为的双曲线的标准方程：．

14．大衍数列来源于《乾坤谱》，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中，对于，数列是公差为的等差数列，且也是等差数列．已知，，则；的前9项和等于．

15．已知非空数集满足：

（i），有；

（ii），有；

（iii）且，有，

则称是的“理想子集”．给出下列四个结论：

①若，则是的“理想子集”；

②若是的“理想子集”，且存在非零实数，则；

③若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”；

④若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”．

其中正确结论的序号是．

三、解答题

16．在中，为钝角，．

(1)求；

(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求．

条件①：；

条件②：；

条件③：的面积为．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

17．如图，在四棱锥中，侧面与底面垂直，为正三角形，底面为菱形，，分别为棱的中点．

??

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

18．某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随机调查了200名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：

青少年组

中年组

老年组

愿意

不愿意

愿意

不愿意

愿意

不愿意

第一款

40

20

80

20

20

20

第二款

30

30

60

40

30

10

第三款

50

10

80

20

10

30

假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.

(1)从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；

(2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1人，记为这3人中愿意购买第二款新品的人数，求的分布列和数学期望；

(3)用“”表示顾客愿意购买第款新品，“”表示顾客不愿意购买第款新品．直接写出方差的大小关系．

19．设函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求的极值点个数；

(3)若时，，求的取值范围．

20．已知椭圆的一个顶点为，且焦距为2，为第一象限内上的动点，过点作斜率为，的直线分别与交于点，（均异于点），直线与轴交于点，为线段的中点，直线与轴交于点．

(1)求的方程；

(2)当时，求点的横坐标．

21．已知有穷正整数数列满足：，且当时，总有．定义数列，其中，．当时，称数列具有性质．

(1)判断下列数列是否具有性质；

①4，3，2，1；②1，2，3，5，4．

(2)已知数列具有性质，求的最小值；

(3)是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明