2025高考数学考二轮专题复习-第十七讲-抛物线（二大考向)-专项训练【含答案】.docx

2025高考数学考二轮专题复习-第十七讲-抛物线（二大考向)-专项训练

一：考情分析

命题解读

考向

考查统计

1.高考对抛物线的考查，重点是

（1）抛物线的定义、几何图形、标准方程。

（2）抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）。

（3）直线和抛物线的位置关系及综合应用。

抛物线的定义、标准方程、几何性质

2024·新高考Ⅱ卷，10

抛物线的定义、直线与抛物线的综合运用

2022·新高考Ⅰ卷，11

2022·新高考Ⅱ卷，10

2023·新高考Ⅱ卷，10

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考Ⅰ卷未考查抛物线，Ⅱ卷考查了抛物线与直线、圆知识点的综合，涉及到抛物线的知识点主要有准线和定义，难度适中。抛物线是高考考查的热点，其中抛物线的定义、方程、焦点、准线及其几何性质的应用是考查的重点。而且抛物线在多选题中考查的比较频繁，考生可以多多加强练习。预计2025年高考还是主要考查抛物线的定义和直线与抛物线的综合运用。

三：试题精讲

一、多选题

1．（2024新高考Ⅱ卷·10）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（????）

A．l与相切

B．当P，A，B三点共线时，

C．当时，

D．满足的点有且仅有2个

高考真题练

一、多选题

1．（2022新高考Ⅰ卷·11）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（????）

A．C的准线为 B．直线AB与C相切

C． D．

2．（2022新高考Ⅱ卷·10）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（????）

A．直线的斜率为 B．

C． D．

3．（2023新高考Ⅱ卷·10）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（????）．

A． B．

C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形

知识点总结

一、抛物线的定义

平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．

二、抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向

图形

标准

方程

顶点

范围

，

，

，

，

对称轴

轴

轴

焦点

离心率

准线方程

焦半径

【抛物线常用结论】

1、点与抛物线的关系

（1）在抛物线内（含焦点）．

（2）在抛物线上．

（3）在抛物线外．

2、焦半径

抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．

3、的几何意义

为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．

4、焦点弦

若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：

（1）．

（2）．

（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．

焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．

（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．

5、抛物线的弦

若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则

（1）弦长公式：

（2）

（3）直线AB的方程为

（4）线段AB的垂直平分线方程为

6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）

（1）焦点为，准线为

（2）焦点为，准线为

如，即，焦点为，准线方程为

7、参数方程

的参数方程为（参数）

8、切线方程和切点弦方程

抛物线的切线方程为，为切点

切点弦方程为，点在抛物线外

与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．

9、抛物线的通径

过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．

对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．

10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：

11、焦点弦的常考性质

已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．

（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；

（2），

（3）；

（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上

名校模拟练

一、单选题

1．（2024·重庆·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A，B两点，点在第一象限，点为坐标原点，且，则直线的斜率为（????）

A． B． C．1 D．-1

2．（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为，点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则该圆的面积为（????）

A． B． C． D．

3．（2024·山东济南·二模）已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（????）

A． B．3 C． D．2

4．（2024·北京顺义·三模）设M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，O足坐标原点，若，则