2025高考数学考二轮专题复习-第十五讲-椭圆(四大考向)-专项训练【含答案】.docx

2025高考数学考二轮专题复习-第十五讲-椭圆(四大考向)-专项训练

一：考情分析

命题解读

考向

考查统计

1.高考对椭圆的考查，重点是

（1）椭圆的定义、几何图形、标准方程。

（2）椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）。

（3）直线和椭圆的位置关系及综合应用。

椭圆的定义和弦长

2022·新高考Ⅰ卷，16

椭圆的离心率

2023·新高考Ⅰ卷，5

直线与椭圆的应用

2022·新高考Ⅱ卷，16

2023·新高考Ⅱ卷，5

椭圆的轨迹方程

2024·新高考Ⅱ卷，5

二：2024高考命题分析

2024年高考新高考Ⅰ卷椭圆的考查体现在大题中，后续专题会解读。Ⅱ卷考查了椭圆的轨迹方程求法，难度较易。椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现。预计2025年高考还是主要考查椭圆的定义和离心率。

三：试题精讲

一、单选题

1．（2024新高考Ⅱ卷·5）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（????）

A．（） B．（）

C．（） D．（）

高考真题练

一、单选题

1．（2023新高考Ⅰ卷·5）设椭圆的离心率分别为．若，则（????）

A． B． C． D．

2．（2023新高考Ⅱ卷·5）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（????）．

A． B． C． D．

二、填空题

3．（2022新高考Ⅰ卷·16）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．

4．（2022新高考Ⅱ卷·16）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．

知识点总结

一、椭圆的定义

平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：

注意：当时，点的轨迹是线段；

当时，点的轨迹不存在．

二、椭圆的方程、图形与性质

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

统一方程

参数方程

第一定义

到两定点的距离之和等于常数2，即（）

范围

且

且

顶点

、

、

、

、

轴长

长轴长，短轴长

长轴长，短轴长

对称性

关于轴、轴对称，关于原点中心对称

焦点

、

、

焦距

离心率

准线方程

点和椭圆

的关系

切线方程

（为切点）

（为切点）

对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得

切点弦所在的直线方程

焦点三角形面积

①，（为短轴的端点）

②

③

焦点三角形中一般要用到的关系是

焦半径

左焦半径：

又焦半径：

上焦半径：

下焦半径：

焦半径最大值，最小值

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）

弦长公式

设直线与椭圆的两个交点为，，，

则弦长

（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）

【椭圆常用结论】

1、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．

距离的最大值为，距离的最小值为．

2、椭圆的切线

①椭圆上一点处的切线方程是；

②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；

③椭圆与直线相切的条件是．

名校模拟练

一、单选题

1．（2024·湖北荆州·三模）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（????）

A．4 B．8 C．10 D．12

2．（2024·山东烟台·三模）若椭圆与椭圆（）的离心率相同，则实数b的值为（????）

A． B． C． D．

3．（2024·江西九江·三模）已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为（????）

A． B．

C． D．

4．（2024·河南·三模）已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（????）

A．3 B．4 C．1 D．2

5．（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（????）

A． B． C． D．

6．（2024·江西鹰潭·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于两点.若，设椭圆的离心率为，则（????）

A． B．

C． D．

7．（2024·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离