线性代数 第1章 行列式 课件.ppt

例4齐次线性方程组是否只有零解？解因为方程组的系数行列式所以原方程组只有零解.*例8若是五阶行列式D的一项,试确定i,j的值.解由行列式的定义知,是取自不同行不同列的元素,所以或而题中符号是负号,可知应选下面给出n阶行列式的另一种定义形式：定理3§1.2行列式的性质转置设n阶行列式将D中的行与列互换后所得的n阶行列式称为D的转置行列式,记作或性质1行列式与它的转置行列式相等,即由性质1可知,在行列式中行与列的地位相同,凡对行成立的性质对于列也同样成立,反之亦然.性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论若行列式有两行（列）元素完全相同,则此行列式等于零.性质3行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k,等于用数k乘此行列式,即推论1行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.推论2行列式中若有两行（列）的对应元素成比例,则此行列式等于零.性质4若行列式第i行（列）的各元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别以这两个数作为第i行（列）对应位置的元素,其它位置的元素与原行列式相同,即性质5把行列式某一行（列）的各元素乘以数k加到另一行（列）对应的元素上去,行列式不变,即例1若求解利用行列式的性质,可以将一个复杂的行列式化为上（下）三角形行列式,从而计算出行列式的值.例2计算行列式解例3计算行列式解§1.3行列式的展开定理关于二阶、三阶行列式，不难验证有下列关系：这样，可将三阶行列式的计算转化为计算二阶行列式.一般地，低阶行列式的计算要比高阶行列式的计算容易,为了将高阶行列式转化为低阶行列式,先引入余子式和代数余子式的定义.定义1在n阶行列式中,划去元素（）所在的第i行和第j列后,剩下的元素按原来的位置构成的n-1阶行列式称为的余子式,记作；称为的代数余子式.例如,三阶行列式中的元素的余子式和代数余子式分别为定理1n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即或定理1称为行列式的展开定理,第一式称为行列式按第i行展开公式,第二式称为行列式按第j列展开公式.例1按第2列展开,计算行列式解还可以按第1行展开,得推论n阶行列式中某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即综合定理1及其推论可得：例2设求解所求式子的系数是第一列的元素,而是第二列的代数余子式,由上页推论得