《函数单调性北师大》课件.pptVIP

函数单调性

函数单调性的定义定义1设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于区间I内任意两个自变量x1和x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I上是单调递增函数.定义2设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于区间I内任意两个自变量x1和x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称f(x)在区间I上是单调递减函数.

函数单调性的性质单调性保持如果函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间上，它的反函数也是单调的，且单调性相同。单调性叠加如果函数f(x)和g(x)在某个区间上都是单调递增（递减）函数，那么它们的和、差、积也是单调递增（递减）函数。单调性组合如果函数f(x)在某个区间上是单调递增（递减）函数，而g(x)在某个区间上是单调递减（递增）函数，那么它们的复合函数f(g(x))也是单调递增（递减）函数。

单调递增函数定义在定义域内，当自变量x的值增大时，函数值y也随之增大，则称该函数为单调递增函数。图像单调递增函数的图像从左到右是向上倾斜的，即函数图像上的点，从左到右，纵坐标越来越高。性质单调递增函数的性质可以帮助我们理解和分析函数的性质，进而解决一些实际问题。

单调递减函数定义对于定义域内的任意两个自变量x1和x2，若x1x2，则有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在定义域上是单调递减函数。图像单调递减函数的图像从左到右下降，斜率始终为负。例子函数y=-x和y=1/x(x0)都是单调递减函数。

单调性判定定理1定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上的导数f(x)0，则f(x)在[a,b]上单调递增。2定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上的导数f(x)0，则f(x)在[a,b]上单调递减。3定理3如果函数f(x)在区间[a,b]上的导数f(x)=0，则f(x)在[a,b]上为常数。

例题1:判断函数单调性1定义满足单调性定义的条件2性质利用单调性的性质简化判断过程3定理利用单调性判定定理进行判断

例题2:确定函数的单调区间1步骤1:求导求出函数的导数2步骤2:解不等式令导数大于0，解出不等式，得到函数单调递增的区间3步骤3:解不等式令导数小于0，解出不等式，得到函数单调递减的区间确定函数的单调区间，需要先求出函数的导数，然后根据导数的符号判断函数的单调性。在导数大于0的区间，函数单调递增；在导数小于0的区间，函数单调递减。

单调函数的基本特征方向性单调函数在定义域内，要么一直上升，要么一直下降。唯一性单调函数的图像与任何水平直线最多只有一个交点。

单调函数的应用工程设计例如，在桥梁设计中，我们可以利用单调函数来确定最佳的桥梁形状，以确保桥梁的稳定性和安全性。数据分析单调函数可以用于分析数据趋势，例如，我们可以使用单调函数来预测股票价格的走势。优化问题在许多优化问题中，我们需要找到函数的极值，而单调函数可以帮助我们快速找到函数的极值。

最大值和最小值1最大值函数在定义域内取到的最大值2最小值函数在定义域内取到的最小值

局部最大值和局部最小值局部最大值在一个开区间内，如果函数值f(x)大于它在该区间内的所有其他点上的函数值，则称f(x)为函数的局部最大值。局部最小值在一个开区间内，如果函数值f(x)小于它在该区间内的所有其他点上的函数值，则称f(x)为函数的局部最小值。

例题3:求函数的最大值和最小值确定函数定义域首先，要明确函数定义域，因为只有在定义域内才能讨论函数的最大值和最小值。判断函数的单调性利用单调性判定定理或导数，判断函数在定义域内的单调性。确定函数的极值根据函数的单调性，判断函数的极值点，并计算极值。比较极值和端点值比较函数的极值和定义域端点处的函数值，确定函数的最大值和最小值。

应用:单调性与最值问题利用函数单调性，可以判断函数在某个区间上的最大值或最小值。在实际应用中，很多问题都可以转化为求函数的最值问题，例如寻找最优方案或最优策略。通过分析函数的单调性，可以找到函数的最大值或最小值，并解决实际问题。

注意事项1定义域在判断函数单调性之前，一定要先确定函数的定义域，因为函数的单调性是在其定义域内讨论的。2单调区间函数的单调区间是指函数在该区间内单调递增或单调递减，并包含区间的端点。3特殊情况对于一些特殊的函数，例如常数函数，其在整个定义域内都是单调的，但其单调区间不是一个区间，而是一个点。

单调性与导数导数与单调性导数与函数的单调性密切相关，导数的符号可以判断函数的单调性。导数为正如果函数在某个区间上的导数恒为正，则函数在这个区间上单调递增。导数为负如