专题24平面向量的数量积6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测原卷版.pdfVIP

专题24平面向量的数量积6题型分类

1．向量的夹角

已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与

b的夹角．

2．平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.

3．平面向量数量积的几何意义

设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A

ABCDAB

—

和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A，B，得到，我们称上述变换为向量a向向量b

CDAB

1111

—

投影，AB叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cosθe.

11

4．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

5．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，a与b的夹角为θ.

1122

几何表示坐标表示

数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝xx＋yy

1212

模|a|＝a·a|a|＝2＋2

x1y1

＋

xxyy

a·b1212

夹角cosθ＝cosθ＝

2＋22＋2

|a||b|x1y1x2y2

a⊥b的充要条件a·b＝0xx＋yy＝0