机器人技术第三章数学基础.ppt

****************************************************************需要在黑板上画、推导。********需要在黑板上画、推导。需要在黑板上画、推导。需要推导****需要推导需要推导**********同理：三个基本旋转矩阵:第29页,共52页，星期六，2024年，5月合成旋转矩阵:例1：在动坐标中有一固定点，相对固定参考坐标系做如下运动：①R（x,90°）；②R(z,90°)；③R(y,90°)。求运动后点在固定参考坐标系下的位置。解1：用画图的简单方法第30页,共52页，星期六，2024年，5月解2：用分步计算的方法①R（x,90°）②R（z,90°）③R（y,90°）（2-14）（2-15）（2-16）第31页,共52页，星期六，2024年，5月上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：R3x3为二者之间的关系矩阵，我们令：定义1：当动坐标系绕固定坐标系各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换第32页,共52页，星期六，2024年，5月平移齐次变换矩阵注意：平移矩阵间可以交换，平移和旋转矩阵间不可以交换第33页,共52页，星期六，2024年，5月2.2.4相对变换举例说明：例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系∑0′做如下运动：①R(Z,90o)②R（y,90o）③Trans(4，-3,7)，求合成矩阵解1：用画图的方法：第34页,共52页，星期六，2024年，5月解2：用计算的方法根据定义1，我们有：以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：例2：①先平移Trans(4,-3,7)；②绕当前轴转动90o；③绕当前轴转动90o；求合成旋转矩阵。（2-20）第35页,共52页，星期六，2024年，5月解1：用画图的方法解2：用计算的方法（2-21）第36页,共52页，星期六，2024年，5月式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相对于固定坐标系，也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。第37页,共52页，星期六，2024年，5月右乘的意义：机器人用到相对变换的时候比较多例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据手爪的坐标系表示但也要知道在∑O中的位姿，就用右乘的概念。oH第38页,共52页，星期六，2024年，5月2.2.5绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换有时动坐标系∑O′可能绕过原点O的分量分别为rx、ry、rz的任意单位矢量r转动φ角。研究这种转动的好处是可用∑O′绕某轴r的一次转动代替绕∑O各坐标轴的数次转动为推导此旋转矩阵，可作下述5步变换：绕X轴转α角，使r轴处于XZ平面内绕Y轴转-β角，使r轴与OZ轴重合绕OZ轴转动φ角绕Y轴转β角绕X轴转-α角第39页,共52页，星期六，2024年，5月由上图容易求出：由定义1和定义2，上述5次旋转的合成旋转矩阵为：（2-25）第40页,共52页，星期六，2024年，5月带入式（2-25），得由该式可以推出3个基本旋转矩阵第41页,共52页，星期六，2024年，5月2.2.6齐次变换矩阵的几何意义设，有一个手爪，即动坐标系∑