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圆锥曲线的三大定义

【知识拓展】

1.圆锥曲线的第二定义

平面内任意一点P(x，y)到点F(c，0)(圆锥曲线的焦点)的距离与到直线x＝eq\f(a2,c)(圆锥曲线的准线)的距离之比为e＝eq\f(c,a)(圆锥曲线的离心率)，那么

(1)当0e1时，点P(x，y)的轨迹为椭圆；

(2)当e1时，点P(x，y)的轨迹为双曲线；

(3)当e＝1时，点P(x，y)的轨迹为抛物线.

2.椭圆与双曲线的第三定义

平面内的动点到定点A(－a，0)，B(a，0)的斜率乘积等于常数λ(λ≠0，λ≠－1)的点的轨迹是椭圆或双曲线.

当常数λ0且λ≠－1时，轨迹是除去两个定点A，B的椭圆；

当常数λ0时，轨迹是除去两个定点A，B的双曲线.其中两个定点分别是椭圆或双曲线的顶点.

【类型突破】

类型一圆锥曲线第一定义的应用

例1(1)(2024·郑州质检)已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为________.

(2)(2024·邢台调研)设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆C于M，N两点，若eq\o(MF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1N,\s\up6(→))，且cos∠MNF2＝eq\f(4,5)，则cos∠MF2N＝________.

答案(1)eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1(x≥eq\r(2))(2)eq\f(3,5)

解析(1)由题意得圆A的圆心为A(－4，0)，半径为eq\r(2)，圆B的圆心为B(4，0)，半径为eq\r(2).

设动圆E的半径为R，

由题意得|EA|＝R＋eq\r(2)，|EB|＝R－eq\r(2).

∴|EA|－|EB|＝2eq\r(2)4－(－4)＝8，

则动圆圆心E在以点A(－4，0)，B(4，0)为焦点的双曲线的右支上.

又∵a＝eq\r(2)，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.

∴动圆圆心E的轨迹方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1(x≥eq\r(2)).

(2)如图，设|F1N|＝k(k0)，因为eq\o(MF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1N,\s\up6(→))，所以|MF1|＝3k，|MN|＝4k，由椭圆的定义知|NF2|＝2a－k，|MF2|＝2a－3k，

在△MNF2中，由余弦定理得|MF2|2＝|MN|2＋|NF2|2－2|MN||NF2|cos∠MNF2，

即(2a－3k)2＝(4k)2＋(2a－k)2－2·4k·(2a－k)·eq\f(4,5)，整理得k＝eq\f(a,3)，

在△MNF2中，|MN|＝eq\f(4a,3)，|NF2|＝eq\f(5a,3)，|MF2|＝a，

由余弦定理的推论得

cos∠MF2N＝eq\f(|MF2|2＋|NF2|2－|MN|2,2|MF2|·|NF2|)＝eq\f(3,5).

规律方法解决椭圆、双曲线的焦点三角形问题

注意应用：(1)定义；(2)正弦、余弦定理；(3)三角形面积公式.

训练1(1)设点P为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________.

(2)(2024·青岛调研)已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，且|PF1|＋|PF2|＝8，则eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝________.

答案(1)eq\f(4\r(3),3)(2)3

解析(1)由题意知c＝eq\r(a2－4).

又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2eq\r(a2－4)，

∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，

∴|F1P|·|PF2|＝eq\f(16,3)，

∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1P|·|PF2|sin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(16,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3).

(2)因为双曲线为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，所以a＝2，c＝3，因为点P是双曲线左支上一点，所以|PF2|－|PF1|＝4，

又|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|＝2，|PF2|＝6，

在△PF1F2中，由正弦定理可得eq\f(|PF1|,sin∠PF2F1)＝eq\f(|PF2|,sin∠PF1F2)，