机器人学数学基础.ppt

解1：用画图的方法解2：用计算的方法（2-21）第29页,共44页，星期六，2024年，5月式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。结果均为为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相对于固定坐标系，也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。第30页,共44页，星期六，2024年，5月右乘的意义：机器人用到相对变换的时候比较多例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据手爪的坐标系表示但也要知道在∑O中的位姿，就用右乘的概念。oH第31页,共44页，星期六，2024年，5月2.2.5绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换有时动坐标系∑O′可能绕过原点O的而分量分别为rx、ry、rz的任意单位矢量r转动φ角。研究这种转动的好处是可用∑O′绕某轴r的一次转动代替绕∑O各坐标轴的数次转动为推导此旋转矩阵，可作下述变换：绕X轴转α角，使r轴处于XZ平面内绕Y轴转-β角，使r轴与OZ轴重合绕OZ轴转动φ角绕Y轴转β角绕X轴转-α角第32页,共44页，星期六，2024年，5月由上图容易求出：由定义1和定义2，上述5次旋转的合成旋转矩阵为：（2-25）第33页,共44页，星期六，2024年，5月带入式（2-25），得由该式可以推出3个基本旋转矩阵第34页,共44页，星期六，2024年，5月2.2.6齐次变换矩阵的几何意义设T=，有一个手爪，已知其在∑O的位置，设一个该坐标系∑O′，已知，，那么∑O′在∑O中的齐次坐标变换为，如果手爪转了一个角度，则：第35页,共44页，星期六，2024年，5月T反映了∑O′在∑O中的位置和姿态，即表示了该坐标系原点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。该矩阵可以由4个子矩阵组成，写成如下形式：为姿态矩阵（旋转矩阵），表示动坐标系∑O′在固定参考坐标系∑O中的姿态，即表示∑O′各坐标轴单位矢量在∑O各轴上的投影为位置矢量矩阵，代表动坐标系∑O′坐标原点在固定参考坐标系∑O中的位置为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，一般置为0为比例系数第36页,共44页，星期六，2024年，5月如果需要求解∑O在∑O′中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵为，即求逆矩阵：其中：这些式子以后经常遇到，在机器人计算中，所要求的就是齐次变换矩阵第37页,共44页，星期六，2024年，5月2.2.7透镜成像的齐次变换第38页,共44页，星期六，2024年，5月因此，进行机器人运动学计算时，不能省略透视矩阵，有摄像头时，透视矩阵为[0-0]，没有摄像头时为[000]。第39页,共44页，星期六，2024年，5月知识点：点和面的齐次坐标和齐次变换三个基本旋转矩阵绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。绕任意轴旋转，5步顺序透视变换第40页,共44页，星期六，2024年，5月习题1：∑O′与∑O初始重合，∑O′作如下运动：①绕Z轴转动30o；②绕X轴转动60o；③绕Y轴转动90o。求T。第41页,共44页，星期六，2024年，5月习题2：∑O′与∑O初始重合，∑O′作如下运动：①绕X轴转动90o；②绕w轴转动90o；③绕Y轴转动90o。求①T；②改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。解①：解②：①绕Z（w）轴转动90o；②绕X轴转动90o；③绕Y轴转动90o。第42页,共44页，星期六，2024年，5月习题3：矢量在∑O′中表示为，∑O′相对于∑O的奇次变换为：解：1）第43页,共44页，星期六，2024年，5月解：2）解：3），，第