初中数学教学：教学设计《求一元二次多项式的最值》.doc

一元二次方程的应用拓展

——求一元二次多项式的最值问题

（上海世外教育附属平湖经开实验中学毛伟吉）

一、教学目标

1.通过一元二次方程的应用，引发学生对一元二次多项式最值的深度思考.

2.经历类比一元二次方程的配方法，会求一元二次多项式的探究过程.

3.通过观察、对比，发现一元二次多项式有最大值或最小值与a的关系.

二、教学重点和难点

用配方法求一元二次多项式的最值是本节课的重点，对二次项系数不为1的配方是本节课的难点.

三、教学内容

环节

内容

设计意图

一、提出问题

1.问题背景：在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，几秒钟后△PBQ的面积等于8？

（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于10？说明理由.

通过一元二次方程的应用中的两个问题，建立问题研究的背景；

△PBQ的面积等于8有解，而面积等于10无解.

引发学生对问题的延伸性思考（探索性思考），既然面积等于10不行，是否有比8大的面积？△PBQ的最大面积是多少呢？

2.深度思考：△PBQ的面积是否有最大值？

S△PBQ

二、分析问题

1.聚焦问题：

求一元二次多项式的最值.

聚焦问题本质，本节课的主要教学内容：一元二次多项式的最值问题.

类比解一元二次方程的配方法，将一元二次多项式化为含有完全平方式的形式.涉及整体的数学思想.

通过三个练习题，巩固用配方法的求解方法.为后续研究规律作好铺垫.

2.巩固练习：求下列一元二次多项式的最值.

（1）；（2）；（3）.

（教师演示）

三、归纳提升

1.归纳一般方法：配方法

例：（3）

（1）；（2）；

回顾：配方法，概括为

分组观察，获得规律：

一元二次多项式的有最大值或最小值与a的关系.

2.观察提升，揭示规律：

求一元二次多项式的最值时，

当a是正数时，一元二次多项式有最小值；

当a是负数时，一元二次多项式有最大值.

四、拓展练习

1.问题解决：

在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

△PBQ的面积是否有最大值？

解决前面提出的问题，并布置相关拓展练习.

2.学以致用：

（1）求一元二次多项式的最值.

（2）某种商品没见的进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，则可卖出(30－x)件.若要使利润最大，则每件商品的售价应定为______元.