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2021年上海市夏季高考数学试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1、已知（其中为虚数单位），则．

2、已知则

3、若,则圆心坐标为

4、如图边长为3的正方形则

5、已知则

6.已知二项式的展开式中，的系数为，则________．

7、已知,目标函数，则的最大值为

8、已知无穷递缩等比数列的各项和为则数列的各项和为

9、在圆柱底面半径为,高为,为上底底面的直径,点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围

10.甲、乙两人在花博会的A、B、C、D不同展馆中各选个去参观，则两人选择中恰有一个馆相同的概率为________．

11、已知抛物线,若第一象限的点在抛物线上，抛物线焦点为

则直线的斜率为

12.已知，且对任意都有或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为________．

二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）

13、以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）

A.B.C.D.

14、已知参数方程,以下哪个图像是该方程的图像（）

15.已知，对于任意的，都存在，使得

成立，则下列选项中，可能的值是（）

16、已知两两不同的满足，

且，，，，则下列选项中恒成立的是（）

三、解答题（本大题共有5题，满分76分,解答下列各题必须写出必要的步骤)

17、如图，在长方体中，

（1)若是边的动点，求三棱锥的体积；

（2)求与平面所成的角的大小.

18、在Δ中，已知

（1)若求Δ的面积；（2)若,求Δ的周长.

19.已知某企业今年（2021年）第一季度的营业额为亿元，以后每个季度（一年有四个季度）营业额都比前一季度多亿元，该企业第一季度是利润为亿元，以后每一季度的利润都比前一季度增长.

（1）求2021第一季度起20季度的营业额总和；

（2）问哪一年哪个季度的利润首次超过该季度营业额的？

20、已知是其左右焦点，,直线过点交于两点，且在线段上.

（1)若是上顶点，求的值；

（2)若且原点到直线的距离为，求直线的方程；

（3)证明：证明：对于任意总存在唯一一条直线使得.

21、如果对任意使得都有,则称是关联的.

（1)判断并证明是否是关联？是否是关联？

（2)是关联的，在上有,解不等式；

（3)“是关联的，且是关联”当且仅当“是关联的”．

2021年上海市夏季高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

1.已知（其中为虚数单位），则．

【思路分析】复数实部和虚部分别相加

【解析】：

【归纳总结】本题主要考查了复数的加法运算，属于基础题．

2、已知则

【思路分析】求出集合A，再求出

【解析】：，所以

【归纳总结】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．

3、若,则圆心坐标为

【思路分析】将圆一般方程化为标准方程，直接读取圆心坐标

【解析】：可以化为所以圆心为

【归纳总结】本题主要考查了圆的方程，属于基础题．

4、如图边长为3的正方形则

【思路分析】利用向量投影转化到边上.

【解析】方法一：

方法二：由已知，，，

则；

【归纳总结】本题考查了平面向量的数量积的定义、正方形的几何性质；基础题；

5、已知则

【思路分析】利用反函数定义求解.

【解析】由题意，得原函数的定义域为：，结合反函数的定义，得，

解得，所以，；

【归纳总结】本题主要考查了反函数的定义的应用，属于基础题．

6.已知二项式的展开式中，的系数为，则________．

【思路分析】利用二项式展开式通项公式求解.

【解析】

【归纳总结】本题考查了二项式定理的通项公式、组合数公式与指数幂运算；基础题。

7、已知,目标函数，则的最大值为

【思路分析】作出不等式表示的平面区域，根据z的几何意义求最值.

【解析】如图，可行域的三个顶点为：、，，

结合直线方程与的几何意义，得，，则；

当

【归纳总结】本题主要考查线性规划的规范、准确作图与直线方程中“参数”的几何意义与数形结合思想；

8、已知无穷递缩等比数列的各项和为则数列的各项和为

【思路分析】利用无穷递缩等比数列求和公式建立方程求出公比，再得到通项公式，根据特点求和