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高一数学三角函数同步辅导讲义

第1讲任意角的三角函数

一、学习指导

1．任意角的三角函数

〔1〕任意角的三角函不能再用初中定义锐角三角函数的方法来定义，因此通过平面直角坐标系来定义任意角的三角函数.

〔2〕对于任意角的三角函数，由相似形的性质可知，的三角函数值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，即角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量的函数.

六个三角函数中重点要掌握的是正弦、余弦和正切.

〔3〕引进弧度制以后，角的集合与实数集合建立了一一对应关系，因此三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即

实数角〔其弧度数等于该实数〕三角函数值〔实数〕

〔4〕应注意，对于某些实数，、、、可能不存在.

2．单位圆与三角函数线

〔1〕圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线以后，可以用有向线段的长表示这几个三角函数值，这在以后画三角函数的图象时会用到.正弦线、余弦线和正切线都是三角函数线.

〔2〕由三角函数线的作法可以知道，对任何角，正弦线、余弦线都可以作出，因此正弦函数、余弦函数的定义域是，对终边在轴上的角，正切线不存在，因此正切函数的定义域是.

3．三角函数在各个象限的符号

必须熟悉每个三角函数在各象限的符号：

，，，

还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅，为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅，为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅，为正，其余为负.

4．终边相同角的三角函数值

公式一：，

，

.

也称为诱导公式一，利用公式一可以把任意角的三角函数化为到角的三角函数.

二、典型例题分析

例1角的终边上有一点，求的各三角函数值.

解由，，.

∵，∴.

∴，，，

，，.

例2角的终边经过点，求的值.

分析因的符号不确定，所以要对字母进行讨论.当，点在第四象限，当，点在第二象限.

解假设，，，点在第四象限.

.

,.

∴.

假设，，，点在第二象限.

.

，.

∴.

例3假设，利用三角函数线证明：，且.

证明在单位圆中作出角及角的正弦线，余弦线和正切线.

在中，

∵，，

∴，∴，即.

在中，

∵，，

∴，，即.

例4假设，利用三角函数线证明：

〔1〕；

〔2〕.

证明〔1〕如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦

线和余弦线.

由，为直角三角形，且，

，.

在中，

，∴.

〔2〕如图，，分别为角的正弦线和正切线.连结.

由，显然有.

，

，

，

∴..

例5，，判断的符号.

分析首先应判断角所在象限，然后再确定角所在象限及的符号.

解∵，，

∴是第二象限角，.

∴.

当，，

是第一象限角，.

当，，

是第三象限角，.

∴必为正数.

例6求函数的定义域.

②①解由

②

①

由①，角的终边在轴上，或第一象限，或第四象限，或在轴的非负半轴上.

由②，，角的终边在第二象限，或第四象限，或在轴上.

∴角的终边在第四象限或轴的非负半轴上.

∴函数的定义域为.

例7求值：

〔1〕；

〔2〕.

解〔1〕

.

〔2〕

.

稳固练习

一、选择题

1．角是第四象限角，那么以下各式中一定为正的是〔〕

A．B．

C．D．

2．假设点在角的终边上，那么以下函数中不存在的是〔〕

A．B．

C．D．

3．以下四个命题：①假设，那么是第二象限角或第三象限角；②且

是为第三象限角的充要条件；③假设，那么角和角的终边相

同；④假设，那么.其中真命题有〔〕

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、解答题

1．求值：

〔1〕；

〔2〕.

.

2．，且，判断点在第几象限.