2018年数学（北师大版必修4）练习第2章6平面向量数量积的坐标表示.doc

第二章§6

1．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5)，若(c－b)·a＝eq\f(15,2)，则a与c的夹角为()

A．30° B．60°

C．120° D．150°

解析：由(c－b)·a＝eq\f(15,2)得a·c－a·b＝eq\f(15,2)，而a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＝－10，于是a·c＝－eq\f(5,2).设a与c的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(－\f(5,2),\r(5)·\r(5))＝－eq\f(1,2).

故夹角θ＝120°.

答案：C

2．(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________________________.

(2)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，E，F是斜边AB的两个三等分点，且AC＝6，BC＝8，那么eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝________________________.

解析：(1)∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，

∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．

又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，

即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，

解得m＝7.

(2)以C为原点，CB，CA分别为x轴、y轴建立坐标系，由已知可得C(0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，4))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，2))，

于是eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，4))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，2))，于是eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(200,9).

答案：(1)7(2)eq\f(200,9)

3．若a＝(5，－7)，b＝(－1,2)，且(a＋λb)⊥b，求实数λ的值．

解：由(a＋λb)⊥b得(a＋λb)·b＝0，即a·b＋λ|b|2＝0，即－19＋5λ＝0，因此λ＝eq\f(19,5).

4．已知直线l1的一个方向向量为a＝(－1,3)，直线l2的一个方向向量为b＝(1，k)，且l2过点(0,5)，l1⊥l2，求l2的直线方程．

解：由l1⊥l2知a⊥b，因此，由－1＋3k＝0，得k＝eq\f(1,3)，所以直线l2的斜率为eq\f(1,3).又l2过点(0,5)，所以l2的方程为y－5＝eq\f(1,3)x，即x－3y＋15＝0.

5．在等腰三角形ABC中，BD和CE是两腰上的中线，且BD⊥CE，求顶角A的余弦值．

解：建立如图所示的直角坐标系，设A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0，a)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(c，a)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(c,0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2c,0)．

∵BD和CE为AC，AB的中线，

∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2)，\f(a,2))).

同理eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3c,2)，\f(a,2))).

∵eq\o(BD,\s\up6(→))⊥eq\o(CE,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝0.

∴－eq\f(9,4)c2＋eq\f(a2,4)＝0.∴a2＝9c2.

∴cosA＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(a2－c2,a2＋c2)＝eq\f(9c2－c2,9c2＋c2)＝eq\f(4,5).