线性代数 第4章 线性方程组 课件.ppt

即，从而所求的齐次线性方程组，以为基础解系．一、非齐次线性方程组解的性质二、非齐次线性方程组解的结构§4.3非齐次线性方程组解的结构一、非齐次线性方程组解的性质设非齐次线性方程组（或）则其解有下述性质：性质1若是非齐次线性方程组的解，则是对应的齐次线性方程组的解．证因为都是的解，所以，，而，即是对应齐次方程组的解．证因为是非齐次线性方程组的解，为对应齐次方程 的解，所以有，，而，即为非齐次线性方程组的解．．性质2若是非齐次线性方程组的解，为对应齐次方程 的解，则为非齐次线性方程组的解．二、非齐次线性方程组解的结构定理1设是非齐次线性方程组的一个解（称为特解）， 是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组(称为非齐次方程组的导出组)的通解，则是非齐次线性方程组的通解．证根据非齐次线性方程组解的性质，只需证明非齐次线性方程组的任一解一定能表示为与的某一解之和．为此取，由性质1知，是的一个解，故，由此定理知，若非齐次线性方程组有解，则只需求出它的一个解，并求出对应的齐次线性方程组的一个基础解系，于是通解可表示为(为任意常数)．即非齐次线性方程组的任一解都能表示为该方程组的一个特解与其对应的齐次线性方程组某一个解之和．例1求下列非齐次线性方程组的通解：解对增广矩阵进行初等行变换可见，，故方程组有无穷多解，并可得与原方程组同解方程组即（其中为自由未知量）．令则即得方程组的一个特解为．在对应的齐次线性方程组中，令及，则及，即得导出组的基础解系为，．