线性代数 第5章 相似对角化.ppt

第五章相似对角化

§5.1相似矩阵的定义及性质

§5.2方阵的特征值及特征向量

§5.3方阵可对角化的条件

§5.4实对称矩阵的对角化

§5.1相似矩阵的定义及性质

一、引例

(人口迁移问题)已知某城市2015年的城市人口为500万,农村人口为

780万,假设每年大约有5%的城市人口迁移到农村（95%仍然留在城市）,

有12%的农村人口迁移到城市（88%仍然留在农村）,忽略其它因素对人

口规模的影响,预测一下20年后(2035年)的人口分布．

《线性代数》配套课件第五章相似对角化

分析用r0,s0分别表示2015年城市和农村的人口．设x0为初始人口

r

向量,0，对2016年及后面的年份,我们用向量

x0

s0

rr

r1，x23，

x12x3

s

，……s1s23

表示出每一年城市和农村的人口．我们的目标就是用数学公式表示出

这些向量之间的关系．

《线性代数》配套课件第五章相似对角化

r0500

由已知，x0,一年之后,城市与农村人口的分布

分别为：s0780

0.95留在城市0.12移居城市

r0s0

0.05移居农村0.88留在农村

因此,2016年全部人口的分布为

r10.950.120.950.12r0

x1r0s0

s10.050.880.050.88s0

即，其0.950.12

x1Mx0M

中0.05.0.88

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若人口迁移的百分比保持不变,则可以继续得到2017年、2018年、……

的人口分布公式：

2

x2Mx1Mx0

3

x3Mx2Mx0

4

x4Mx3Mx0

……,M20

20

x20Mx0

200.950.12

因此要预测20年后的人口分布，关键要计算M，其中M

0.050.88

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二、相似矩阵的定义及性质

定义1设AB，都是n阶方阵,若n有阶可逆矩P阵,使

P1APB

则称矩阵A相似于B，称BA是的相似矩阵,记A为~B.

对A进行运算P1AP称A为对进行相似变换,可逆P矩阵