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极值点偏移
【知识拓展】
已知f(x)图象顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足eq\f(x1＋x2,2)＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)所示；若eq\f(x1＋x2,2)≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)所示.
【类型突破】
类型一对称化构造
例1(2024·青岛质检节选)已知函数f(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(3,2)))，若函数f(x)在x＝e处取得极值，且f′(x1)＝f′(x2)，x1x2，证明：2x1＋x2.
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规律方法对称化构造主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2xeq\o\al(2,0)，则令F(x)＝f(x)－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,0),x))).
(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性.
(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系.
(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求.
训练1已知函数f(x)＝ex－xlnx＋x2－ax.
(1)证明：若a≤e＋1，则f(x)≥0；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x21.
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类型二比(差)值换元
例2(2024·杭州调研节选)已知函数f(x)＝x(lnx－a)，g(x)＝eq\f(f（x）,x)＋a－ax.若g(x)的两个相异零点为x1，x2，求证：x1x2e2.
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