线性代数 第6章 二次型.ppt

推论阶对称矩阵为正定的充分必要条件是存在可逆矩阵使得.又,故正定矩阵的行列式大于零.定义2设矩阵，的子式称为的阶顺序主子式.定理3实对称矩阵为正定的充分必要条件是的各阶顺序主子式都大于零,即例1判定二次型的正定性.解法一的矩阵为根据定理3知为正定二次型.解法二由特征方程得特征值分别为，，，显然均大于零,故可得二次型为正定二次型.例2当取何值时，二次型是正定的？解因二次型的矩阵为,为使所给二次型正定,的各阶顺序主子式应大于零,从而有，由得.所以当时,所给实二次型是正定的.定义3如果对任何都有,则称为负定二次型,并称对称矩阵是负定矩阵.如果都有,则称为半正定的；如果都有,则称为半负定的；如果它既不是半正定的又不是半负定的,则称为不定的.如是负定二次型.显然,如果为负定二次型,则为正定二次型,不加证明给出下面定理.定理4实对称矩阵为负定的充分必要条件是:奇数阶顺序主子式都为负,而偶数阶顺序主子式都为正,即例3判定二次型的正定性.解因为有顺序主子式所以二次型为负定二次型.一、二次型的标准形对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求可逆的线性变换使二次型化为只含平方项的二次型.定义1只含平方项的二次型称为二次型的标准形.要使二次型经可逆变换变成标准形,即有也就是要使成为对角矩阵.问题就对应为：对于对称矩阵,寻求可逆矩阵,使为对角矩阵.这个问题称为把对称矩阵合同对角化.1.用正交变换法化二次型为标准形用正交变换法化二次型成标准形,由§5.4节定理6知,任给实对称矩阵,总有正交矩阵使得.把此结论应用于二次型,得定理1任给二次型,存在正交变换,使化为标准形其中是的矩阵的特征值.例1已知二次型解二次型的矩阵为.用正交变换法化二次型为标准形,并写出相应的正交变换.由特征方程解得特征值，，.对,由齐次方程组，得解得基础解系,即为对应于的特征向量.对,由齐次方程组，得解得基础解系,即为对应于的特征向量.对,由齐次方程组，得解得基础解系,即为对应于的特征向量.由于分别对应不同的特征值,故两两正交.将