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《函数极限说》

函数极限的定义1定义当自变量x趋近于某个值a时，函数值f(x)无限接近于某个常数A，则称A为函数f(x)当x趋近于a时的极限2符号lim(x→a)f(x)=A3条件该定义意味着无论x有多接近a，只要x不等于a，f(x)的值都可以无限接近A

函数极限的几何解释函数极限的几何解释是指当自变量无限接近某一点时，函数值无限接近一个定值。具体而言，当自变量x无限接近a时，函数f(x)无限接近L，则称L为函数f(x)在x=a处的极限，记为limx-af(x)=L。从图形上来看，可以将x=a点视为函数图像上的一个点，而L则代表该点在y轴上的投影。当x无限接近a时，函数图像上的点无限接近该点，而其在y轴上的投影也无限接近L。

函数极限的代数性质和的极限如果函数f(x)和g(x)在x趋近于a时分别存在极限A和B，则函数f(x)+g(x)在x趋近于a时也存在极限，且极限值为A+B。积的极限如果函数f(x)和g(x)在x趋近于a时分别存在极限A和B，则函数f(x)g(x)在x趋近于a时也存在极限，且极限值为A*B。商的极限如果函数f(x)和g(x)在x趋近于a时分别存在极限A和B，且B≠0，则函数f(x)/g(x)在x趋近于a时也存在极限，且极限值为A/B。

函数极限的运算规则加法lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)减法lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)乘法lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)除法lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x),其中limg(x)≠0

单侧极限与双侧极限左极限当自变量x从左侧无限接近a时，函数f(x)无限接近于一个常数A，则称A为函数f(x)当x趋于a时的左极限，记作limx→a-f(x)=A右极限当自变量x从右侧无限接近a时，函数f(x)无限接近于一个常数A，则称A为函数f(x)当x趋于a时的右极限，记作limx→a+f(x)=A

极限的存在条件左极限等于右极限当函数在某点处左右极限都存在，且相等时，该点的极限才存在。函数有界如果函数在某点附近有界，则该点的极限可能存在。

无穷小量及其性质无穷小量是指当自变量趋于某一极限值时，函数的值也趋于零的量。两个无穷小量的和仍为无穷小量。无穷小量与有界量的积仍为无穷小量。

等价无穷小替换定义当自变量趋近于某个值时，两个无穷小量之比的极限为1，则称这两个无穷小量是等价无穷小量。应用等价无穷小替换可以简化极限计算，尤其在涉及复杂函数或表达式时。

洛必达法则条件当两个函数的极限都趋向于零或无穷大时，可以使用洛必达法则。步骤对两个函数分别求导，然后计算导函数的极限。应用洛必达法则可以简化极限的计算，特别是在遇到无法直接计算的极限时。

自然对数的底e自然对数的底e是无理数，约为2.71828。它是一个非常重要的数学常数，在很多领域都有应用。

函数连续性的定义连续函数在定义域内，函数图像没有间断，也就是说，没有跳跃、断裂或孔洞。不连续函数函数图像存在间断，例如跳跃、断裂或孔洞。

连续函数的性质可加性若f(x)和g(x)在点x0处连续，则f(x)+g(x)在点x0处连续。可乘性若f(x)和g(x)在点x0处连续，则f(x)g(x)在点x0处连续。可除性若f(x)在点x0处连续，且g(x)在点x0处连续且g(x0)≠0，则f(x)/g(x)在点x0处连续。

连续函数的运算规则1和差积商两个连续函数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是连续函数。2复合函数若函数f(x)在点x0连续，g(x)在点f(x0)连续，则复合函数g[f(x)]在点x0连续。

闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理在闭区间上连续的函数必取得最大值和最小值。介值定理如果函数在闭区间上连续，则它在该区间上取遍介于函数值之间的所有值。零点定理如果函数在闭区间上连续，且函数在区间两端点的函数值异号，则该函数在该区间内至少有一个零点。

函数的间断点定义如果一个函数在某点处不连续，则该点称为函数的间断点。分类间断点可以分为三类：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。判定通过观察函数在间断点附近的左右极限和函数值来判断间断点的类型。

间断点的分类可去间断点函数在该点存在极限，但函数值不存在或不等于极限值。跳跃间断点函数在该点的左右极限存在，但左右极限不相等。无穷间断点函数在该点的左右极限至少有一个为无穷大，或者左右极限不存在。

间断点的判定1极限不存在如果函数在某一点的左右极限不相等，则该点为间断点。2极限存在但不等于函数值如果函数在某一点的极限存在，但函数值不存在或不等于极限值，则该点为间断点。3函数值不存在如果函数在某一点的函数值不存在，则该点为