备战2025年高考数学考点一遍过考点19平面向量的数量积及向量的应用文含解析.docVIP

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考点19平面对量的数量积及向量的应用

1．平面对量的数量积

（1）理解平面对量数量积的含义及其物理意义.

（2）了解平面对量的数量积与向量投影的关系.

（3）驾驭数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算.

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系.

2．向量的应用

（1）会用向量方法解决某些简洁的平面几何问题.

（2）会用向量方法解决简洁的力学问题与其他一些实际问题.

一、平面对量的数量积

1．平面对量数量积的概念

（1）数量积的概念

已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角.

【注】零向量与任一向量的数量积为0.

（2）投影的概念

设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.

如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度.

（3）数量积的几何意义

由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.

2．平面对量数量积的运算律

已知向量和实数,则

①交换律：；

②数乘结合律：；

③安排律：.

二、平面对量数量积的坐标表示、模、夹角及性质

设非零向量，是与的夹角.

（1）数量积：.

（2）模：.

（3）夹角：.

（4）垂直与平行：；a∥b?a·b=±|a||b|.

【注】当与同向时,；

当与反向时,.

（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?.

三、平面对量的应用

1．向量在平面几何中常见的应用

已知.

（1）证明线段平行、点共线问题及相像问题，常用向量共线的条件：

（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，推断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：

（其中为非零向量）

（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：

（其中为非零向量）

（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：

，

或（其中两点的坐标分别为）

（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.

2．向量在物理中常见的应用

（1）向量与力、速度、加速度及位移

力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.

（2）向量与功、动量

力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即

为和的夹角).

考向一平面对量数量积的运算

平面对量数量积的类型及求法：

(1)平面对量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式.

(2)求较困难的平面对量数量积的运算时，可先利用平面对量数量积的运算律或相关公式进行化简.

典例1若向量与向量共线,则

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为向量与向量共线，

所以，解得.

即，，

所以=.

选D．

典例2已知向量与的夹角为，则__________．

【答案】

【解析】由向量与的夹角为，

得.

1．在平行四边形ABCD中，AB∥CD，，则=

A． B．2

C．3 D．4

2．已知菱形的边长为2，，则

A．4 B．6

C． D．

考向二平面对量数量积的应用

平面对量数量积主要有两个应用：

(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面对量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面对量的数量积可以用来解决有关角度的问题．

(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

典例3在平行四边形中，若则

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】如图所示,

平行四边形中，，

，

，

，

因为，

所以

，

则，

所以.

故选C．

3．已知向量,且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是.

考向三平面对量的模及其应用

平面对量的模及其应用的类型与解题策略：

(1)求向量的模．解决此类问题应留意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．

(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：

①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．

(3)由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.

典例4已知平面对量的夹角为，且，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，

所以.

故选B．

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