高中数学人教A版选择性必修第一册第二章 直线和圆的方程2.4.1圆的标准方程.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

秋季

课题

圆的标准方程

教学目标

会通过圆的几何要素确定圆的定义；

通过建立坐标系，利用两点间的距离公式推导出圆的标准方程；知道圆心在坐标原点半径为r的圆的标准方程等一些特殊位置的圆的标准方程；

会判断点和圆的位置关系；

能利用平面几何关系解三角形外接圆的标准方程；

知道确定a,b,r的值就可以利用待定系数法将点的坐标带入方程得出圆的标准方程；

引导学生画出数轴和圆，感受数形结合，运用代数的语言描述几何性质，可以把几何性质和代数计算互相转化从而求圆的标准方程或者直线方程。

教学重难点

教学重点：

怎么利用类比推理建立直线方程的方法延伸到建立圆的标准方程，；

知道且理解圆的概念：平面到定点的距离为定长的点的集合；

从两点间的距离公式推导出圆的标准方程；

从圆的标准方程中得出圆心的坐标和半径的长；

能判断点和圆的位置关系，也可以通过两点间的距离公式和半径比较大小判断点和圆的位置关系；

会利用待定系数法将点的坐标带入方程求解圆的标准方程；

会通过几何关系求解三角形的外接圆的标准方程；

通过圆的标准方程，综合曲线和方程思想，运用平面几何关系和代数计算，考察轨迹方程等问题以及数形结合思想。

教学难点：

如何让学生理解圆的定义；

如何判断几点可以构成圆的条件；

怎么理解通过两点间的距离公式推导出圆的标准方程；

利用待定系数法求圆的标准方程，注重计算过程，不犯基本的计算错误；

如何让学生找准平面几何关系，将点和直线方程，三角形的基本性质联系到圆的过程中，从而求解圆的标准方程；

把平面几何中点的轨迹问题结合曲线和方程思想，充分体现数形结合思想。

教学过程

【课前引入，通过数学故事吸引学生注意，通过课本上的自然风光图片引导学生回顾本章总体内容】

同学们好，早在古希腊的毕达哥拉斯从数学的研究中发现和谐之美，称一切平面图形中最美的是圆形，对于圆形，绕圆心转动无论多少角度都与原图形重合，圆是平面中最完美的对称。自然界中也有着许多美妙的圆形，例如课本上本单元的封面图“长河落日圆”就展现了圆形和直线的几何之美。

【教学单元1：温故知新，引导学生回顾上一节直线的内容，强调解析几何中代数方程和几何图形之间的关系，引导数形结合的思想】

在之前的学习中，我们初步的了解了析几何，学会使用代数方程描绘直线，并且学会使用代数的手段解决各种与直线有关的问题。

回顾一下，代数方程和一条直线之间有什么关系呢？不难回答，直线方程的所有解的集合就是这条直线，每一个解对应的点都在这条直线上，我们可以从不同角度描述这条直线进而得出不同形式的直线方程。总而言之，通过解析几何手段，我们将代数方程和坐标系中的图形建立了联系。

【教学单元2：类比思维，将上一节的方法过渡到本节内容的学习中。引导学生从圆的定义出发，运用数形结合思维，逐步推到出圆的标准方程，并加以多角度的阐释】

那么我们能不能类比直线，用代数方程的手段描绘圆呢？

在探究这个问题之前，我们先回顾一下什么是圆。初中数学学过，圆是在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。这个确定的长度称为半径，而这个定点称为圆心。至此，我们可以得出这样的结论：确定了圆心，就确定了圆的位置，确定了半径，就确定了圆的大小。

好，下面请同学们思考几个问题：

1.如何在坐标轴上表示一个点的坐标。

2.两点之间的距离如何用代数式表示。

【答案，略】

好，同学们，我们试着把圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，抽象理解一下：位于圆上的点到圆心的距离都是一定的，这个距离等于半径长度。

结合刚刚的两个小问题，继续思考以下问题。

一个圆，圆心位于坐标轴原点，半径长度为3。用代数方程表示原上的点和圆心的关系。

根据刚刚对圆定义的理解，不难得到，这个圆上任意一点（x，y）到圆心（0，0）到距离都等于半径长度3。

列出方程：，两边同时平方，得，。

我们得到这样的方程，这个方程的解的集合就表示了圆上的所有的点。

继续思考：2.如何用方程表示圆心（a，b），半径长度为r点圆。

继续使用圆的定义：位于圆上的点到圆心的距离都是等于半径长度。

也就是，圆上任意一点（x，y）到圆心（a，b）的距离等于半径长度r。

列出方程，

两边平方，得到。

我们把这个方程称为圆的标准方程。根据这个方程可以方便的得到圆心坐标和半径长度，进而确定圆在坐标轴上的位置。

刚刚讲过，这个方程的解的集合就表示了圆上的所有的点。换句话说，若某点坐标带入某圆的标准方程成立，则说明该点位于圆上。反之，若某点坐标带入圆的标准方程不成立，则该点不在圆上。

【教学单元3：学以致用，注意从代数和几何图形两个角度给出两个解答路径】

下面我们一起来看课本例题1，我们一起把刚才所学习的规律运用到具体情境中。

【读题，分析，讲解