《线性代数》 课件 黄先开 第2章 矩阵 .pptx

《线性代数》配套课件;第二章矩阵;§2.1矩阵的概念;引例2线性方程组

的解由系数和常数项确定,其系数与常数项按原位置可排列为

于是，对线性方程组的研究可以转化为对这张表（增广矩阵）的研究．

;引例3n个变量与m个变量之间的关系式

表示从变量到变量的线性变换，这个变换可以用数表表示为

;矩阵的概念

定义1由个数排成的m行n列的数表

称为m行n列矩阵，简称矩阵，其中称为矩阵第i行第j列的元素．

;矩阵通常用大写字母A,B,C,…来表示，以为元素的矩阵可简记为也可记为或

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵．

行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵，n阶矩阵A也记作An．

若两个矩阵的行数相等,列数也相等，则称它们是同型矩阵．

元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O．注意：不同型的零矩阵是不同的．

;只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量．

只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量．

若与是同型矩阵，并且对应位置上的元素相等，即

则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B．

;特殊矩阵

例1n阶方阵称为对角矩阵，记作

在对角矩阵中，当时，称为数量矩阵.

在数量矩阵中，当时，称为n阶单位矩阵．记作En

(或简记为E)．

;例2矩阵

称为上三角矩阵,简称上三角阵．类似地，矩阵

称作下三角矩阵,简称下三角阵．上三角阵和下三角阵统称为三角阵.;§2.2矩阵的运算;例1设两矩阵

求A+B.

解

;称矩阵

为的负矩阵,记作–A.

按照矩阵的加法定义可得出矩阵的减法：;数与矩阵相乘

定义2设矩阵是一个数，称为数与矩阵A的乘积，简称为数乘.所谓矩阵的数乘运算，就是一个数与矩阵的每一个元素相乘．

设A,B,C都是矩阵，为数,则

(1)

(2)

(3)

;例2设

求

解

;矩阵的乘法

引例3设某工厂由1车间、2车间、3车间生产甲、乙两种产品，用矩阵A表示该厂三个车间一天内生产甲产品和乙产品的产量(kg)，矩阵B表示甲产品和乙产品的单价（元）和单位利润（元）：

那么该厂三个车间一天各自的总产值（元）和总利润（元）用矩阵C表示：

;定义3设两个矩阵则矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB，规定其中

注只有当矩阵A的列数与B的行数相同时，A与B才能作乘积，并且乘积矩阵的行数与A的行数相等，乘积矩阵的列数与B的列数相等．

;

例3设求AB.

解

;

例4设求AB,BA与AC.

解

;从例4中可以得出下面的结论：

（1）矩阵的乘法一般不满足交换律，即AB≠BA．注意，对任一方阵A，有EA=AE=A．

（2）两个非零矩阵的乘积可能等于零矩阵．因此AB=O不能推出A=O或B