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高考圈题〔新课标II数学文〕

题组17空间中的垂直、平行关系、距离

一、考法解法

命题特点分析

本问题主要以解答题的形式进行考查，重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问．第二问以考查体积,距离等为主流

解题方法荟萃

首先要学会认识几何图形，有一定的空间想象能力，对照着条件逐一判断．其次要熟悉相关的根本定理和根本性质，要善于把空间问题转化为平面问题进行解答．高考试题一般是利用直线与平面平行或垂直的判断定理和性质定理，以及平面与平面平行或垂直的判定定理和性质定理，把空间中的线线位置关系、线面位置关系和面面位置关系进行相互转化，立体几何中的计算主要以体积,线面角为主,关键是找垂直关系.这就要求同学们对平行与垂直的判定定理和性质定理熟练掌握，并在相应的题目中用相应的数学语言进行准确的表述．

二、真题剖析

【题干】〔2015?全国新课标II卷文科〕如图,长方体中AB=16,BC=10,,点E,F分别在上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

〔=1\*ROMANI〕在图中画出这个正方形〔不必说明画法与理由〕；

〔=2\*ROMANII〕求平面把该长方体分成的两局部体积的比值.

【解析】〔=1\*ROMANI〕所求正方形如图：

〔=2\*ROMANII〕作EM⊥AB,垂足为M,那么AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EFHG为正方形,所以

EG=EF=BC=10.由勾股定理得MG=6,AG=10,GB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为

〔点评〕此题考查空间线线的位置关系，空间作图、空间几何体的体积等，对考生的空间想象能力有一定的要求，属于中档题.

【题干】(2014新课标全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，

PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

〔Ⅰ〕证明：PB∥平面AEC；

(2)设AP＝1，AD＝eq\r(3)，三棱锥P-ABD的体积V＝eq\f(\r(3),4)，求A到平面PBC的距离．

P

P

E

D

C

B

A

【答案】见解析

【解析】(命题意图)此题涉及了直线与平面、平面与平面的位置关系.第二问考查利用等积法求点到平面距离.

(解题点拨)〔Ⅰ〕设AC的中点为G，连接EG，在△PBD中，中位线EG∥PB，且EG在平面AEC上，所以PB∥平面AEC．

(2)

由可得

作AH⊥PB交PB于点H.

由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，

因为PB∩BC＝B，所以AH⊥平面PBC.

又

所以点A到平面PBC的距离为.

(点评)四棱锥为载体考查利用平行四边形性质,中位线得到线线平行,再得到线面平行.第二问考查点到平面距离,实质上还是常规的考查体积求法.试题再一次以考生熟悉的四棱锥为载体，表达了课程标准对立体几何教学的能力要求

【题干】(2013新课标全国卷)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)假设AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

【答案】见解析

【解析】(命题意图)以三棱柱为载体考查垂直关系垂直的综合问题.再一次考查体积.

(解题点拨)

(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.

因为CA＝CB，

所以OC⊥AB.

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，

故△AA1B为等边三角形，

所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.

又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，

所以OC＝OA1＝.

又A1C＝，那么A1C2＝OC2＋，

故OA1⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．

又△ABC的面积S△ABC＝，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3.

(点评)以直三棱柱为载体考查线线垂直,线面垂直,面面垂直的综合问题.考查学生的空间想象能力,逻辑思维能力和定理的应用等.

【题干】(2012新课标全国Ⅰ卷)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点。

〔1〕证明：平面BDC1⊥平面BDC；

〔2〕平面BDC1分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比。

【解析】

【答案】见解析

【解析】(命题意图)以三棱柱为载体考查线线垂直,线面垂直,面面垂直的综合问题.考查提及的计算

(解题点拨)〔1〕在中，，

得：，

同理：，

得：。

由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，，

所以平面。