2025高考数学考二轮专题型专项练4解答题组合练(A)-专项训练【含答案】.docx

2025高考数学考二轮专题型专项练4解答题组合练(A)-专项训练

1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a+b=ccosB-bcosC.

(1)求角C的大小;

(2)设CD是△ABC的角平分线,求证:1CA

2.(2024·广西南宁一模)已知正项数列{an},其中a1=2,且an+1an=1

(1)设bn=an+1an,证明:数列{b

(2)设cn=an2+1an2,求数列{cn}的前n项和Tn,并判断是否存在正整数n

3.(2023·天津,17)如图,已知A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,M,N分别为BC,AB的中点.

(1)求证:A1N∥平面C1MA;

(2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值;

(3)求点C到平面C1MA的距离.

4.(2024·河北沧州一模)对于函数y=f(x),x∈I,若存在x0∈I,使得f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的一阶不动点;若存在x0∈I,使得f(f(x0))=x0,则称x0为函数f(x)的二阶不动点;依此类推,可以定义函数f(x)的n阶不动点.其中一阶不动点简称为“不动点”,二阶不动点简称为“稳定点”,函数f(x)的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}.

(1)若f(x)=exe(x0),证明:集合A={x|f(x)

(2)若f(x)=(a+1)x-1x+2lnxe2

5.如图,已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(2,0),O为坐标原点,过点F作直线l1与双曲线的渐近线交于P,Q两点,且点P在线段FQ上,

(1)求C的方程;

(2)设A1,A2是C的左、右顶点,过点(12,0)的直线l与C交于M,N两点,试探究直线A1M与A2N的交点S是否在某条定直线上?若是,求出该定直线方程;若不是,请说明理由

题型专项练4解答题组合练(A)答案

1.(1)解由a+b=ccosB-bcosC及正弦定理得sinA+sinB=sinCcosB-sinBcosC.

又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,

所以sin(B+C)+sinB=sinCcosB-sinBcosC,

所以2sinBcosC+sinB=0.

因为B∈(0,π),

所以sinB≠0,所以cosC=-12

又C∈(0,π),所以C=2π

(2)证明因为CD是△ABC的角平分线,且C=2π

所以∠ACD=∠BCD=π3

在△ABC中,S△ABC=S△ACD+S△BCD,则12CA·CBsin2π3=12CA·CDsinπ

即CA·CB=CA·CD+CD·CB.

两边同时除以CA·CB·CD得1CA

2.(1)证明由题意可知,b1=a1+1a

由an+1an=14·an+12+1an2+1,n∈N*,可得an+12+1an+1=4·an2+1an,即an+1+1an+1=4(an+1an),所以

(2)解不存在,理由如下:cn=an2+1an2=(an+1an)2-2=(52×4n-1)2

Tn=c1+c2+c3+…+cn=254×1-16n1-16-2n=512(16n-1)-2n,要使得Tn为整数,因为2n∈

16n-1=(12+4)n-1=Cn0×40×12n+Cn1×41×12n-1+Cn2×42×12n-2+…+Cnn-2×4n-2×122+Cnn-1×4n-

则必须使得Cnn×4n×120-1,即4n-1能被12整除,而4n-1为奇数,12为偶数,故不存在正整数n,使得Tn

3.(1)证明连接MN,由已知M,N分别为BC,AB的中点,得MN??12AC.又由题意可知,A1C1??12

∴MN??A1C1.

∴四边形A1NMC1是平行四边形.∴A1N∥C1M.

又A1N?平面C1MA,C1M?平面C1MA,

∴A1N∥平面C1MA.

(2)解由已知AA1,AB,AC两两垂直,以A为原点,AB,AC,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(1,1,0),C1(0,1,2).∴AB=(2,0,0),AM=(1,1,0),AC1=(0,1,2),AC=

由已知AB⊥AC,AB⊥AA1,∴AB是平面ACC1A1的一个法向量.

设平面C1MA的一个法向量为n=(x,y,z),则n⊥AM

令z=1,得平面C1MA的一个法向量为n=(2,-2,1).

设平面C1MA与平面ACC1A1所成的角的大小为θ,则cosθ=|AB

故平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值为23

(3)解设点C到平面C1MA的距离为d.

解法一(法向