线性代数 第2章 矩阵 课件.ppt

可以把矩阵秩的性质归纳如下：性质1性质2性质3若则性质4若P,Q可逆，则性质5特别地，当B=b为非零列矩阵时，有性质6性质7性质8若则注:这后三个性质的证明需要用到下一章的结论.用初等变换解线性方程组一般线性方程组可写成矩阵方程AX=b的形式,其中称矩阵A为方程组的系数矩阵，矩阵为方程组的增广矩阵．例5解线性方程组解对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到其行最简形矩阵，即所以对应的同解方程组为令则方程组的一般解为(其中为任意常数).例6解齐次线性方程组解因为对应的同解方程组为令所以齐次方程组的一般解为(其中为任意常数).以上求解过程是：将方程组看成一个整体，利用同解变换将一个方程组化为另一个方程组．而同解变换主要采用了以下三种形式：（1）两个方程互换位置；（2）某方程两端同时乘以某一非零数(即用一非零数k乘某一个方程)；（3）用一非零数乘某一方程后加到另一个方程上去．这样就将原方程组转化成一个同解的线性方程组．同样的做法，运用到矩阵上，就得到:矩阵的初等变换定义1矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换：（1）互换矩阵中任意两行（列）的位置，记作（）；（2）以非零数k乘矩阵某一行(列)的所有元素,记作（）；（3）将矩阵某一行（列）的所有元素乘以一个常数k加到另一行（列）的对应元素上，记作（）．矩阵的初等行变换与列变换统称为矩阵的初等变换．定义2若矩阵A经过有限次的初等变换化为矩阵B,则称A和B是等价矩阵，记为易验证矩阵之间的这种等价关系具有以下三个性质：（1）反身性:（2）对称性:若则（3）传递性:若则在引例1中，方程组对应一个矩阵，而方程组的演变过程就对应为矩阵的变化过程，即即这与引例1的结果相同,即消元法可以通过初等行变换实现.上例中矩阵B和C都称为行阶梯形矩阵，它满足:（1）可画出一条阶梯线，线的下方全为0；（2）每个阶梯只有一行，阶梯数即是非零行的行数，阶梯形的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．行阶梯形矩阵C称为行最简形矩阵，它满足:（1）非零行的第一个非零元为1；（2）这些非零元所在的列的其他元素都为0．任何矩阵总可经过有限次初等行变换变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的(行阶梯形矩阵中非零行的行数也是唯一确定的)．解线性方程组就是把增广矩阵化为行最简形矩阵．对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准形．例如定理1对于任意矩阵A,总可经过有限次初等变换(行变换和列变换)把它化为标准形此标准形由