《函数单调性与极值》课件.pptVIP

函数单调性与极值

函数单调性的定义单调增函数若对区间I上任意两点x1,x2,且x12，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数y=f(x)在区间I上是单调递增函数。单调减函数若对区间I上任意两点x1,x2,且x12，都有f(x1)≥f(x2)，则称函数y=f(x)在区间I上是单调递减函数。单调函数单调增函数和单调减函数统称为单调函数。

单调增函数定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于I中任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，恒有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)在I上是单调递增的。图像单调递增函数的图像，从左到右，函数值始终上升。

单调减函数定义如果函数f(x)在区间I上满足：当x1x2时，f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减函数。图像特征单调减函数的图像在定义域内，从左到右，图像始终向下倾斜。

单调函数的性质传递性如果函数在区间I上单调递增（递减），且在区间J上单调递增（递减），则在I∩J上函数也单调递增（递减）。可加性如果函数f(x)和g(x)在区间I上都单调递增（递减），则它们的和f(x)+g(x)也在I上单调递增（递减）。可乘性如果函数f(x)和g(x)在区间I上都单调递增（递减）且均为正值函数，则它们的积f(x)g(x)也在I上单调递增（递减）。

函数单调性判定定理1单调增如果对定义域内任意两个自变量x1,x2,当x12单调减如果对定义域内任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2)，则函数f(x)在该区间上单调递减。3判定定理若函数f(x)在区间I上可导，则：当f(x)0时，函数f(x)在区间I上单调递增；当f(x)0时，函数f(x)在区间I上单调递减。

函数单调性的应用1确定函数的图像通过函数的单调性可以确定函数图像的走势，例如，单调递增函数的图像向上倾斜。2求解不等式利用函数的单调性可以解一些不等式，例如，对于单调递增函数，如果f(x)f(a)，则xa。3研究函数的性质函数的单调性是研究函数性质的重要工具，例如，可以用来判断函数是否有最大值或最小值。

函数极值的概念定义在定义域内，函数取得最大值或最小值，称为函数的极值。类型分为极大值和极小值，分别对应函数取得最大值和最小值。意义反映了函数在某个局部范围内变化的趋势，是函数的重要特征。

极值的分类1局部极值在某个开区间内，函数取得的最大值或最小值，称为该函数在该开区间上的局部极值。2全局极值在函数定义域内，函数取得的最大值或最小值，称为该函数的全局极值。3极大值和极小值如果函数在某个点取得局部最大值，则称该点为函数的极大值点；如果函数在某个点取得局部最小值，则称该点为函数的极小值点。

寻找极值的方法函数图像法通过观察函数图像，找到函数图像上的最高点或最低点，即为函数的极值点.导数法利用函数导数的性质，判断函数在某个区间上的单调性，从而找到函数的极值点.判别式法利用极值判别式，判断函数在某个点处是否有极值，以及极值的类型.

复合函数的极值1求导法则运用链式法则求导2极值点求导后令导数为零3判断极值用一阶导数或二阶导数判别

参数方程描述的函数的极值1参数方程使用参数方程描述的函数2导数求导数3极值确定极值点

用导数分析函数的单调性导数的符号导数的符号可以用来判断函数的单调性。正导数如果一个函数的导数在某个区间上恒为正，那么该函数在这个区间上单调递增。负导数如果一个函数的导数在某个区间上恒为负，那么该函数在这个区间上单调递减。零导数如果一个函数的导数在某个区间上恒为零，那么该函数在这个区间上为常函数。

用导数分析函数的极值1求导数找到函数的一阶导数，即f(x)。2临界点求解f(x)=0的方程，并找到f(x)不存在的点，这些点被称为临界点。3极值判断使用二阶导数检验临界点，确定函数在这些点是达到极大值、极小值还是鞍点。

函数图像与单调性和极值的关系函数的图像可以直观地反映函数的单调性和极值。当函数在某个区间上单调递增时，其图像在这个区间上是向上倾斜的。当函数在某个区间上单调递减时，其图像在这个区间上是向下倾斜的。函数的极值点对应图像的最高点或最低点。

函数最大最小值的应用优化问题在工程、经济、管理等领域，常需要求解一些目标函数的最大值或最小值问题，例如：如何设计一个最大容积的容器？如何安排生产计划以获得最大的利润？科学研究在科学研究中，函数最大最小值可以帮助我们理解某些现象的极端情况，例如：如何确定抛射物飞行的最大高度？如何计算地球上某点的最低气温？日常生活在生活中，函数最大最小值也常常用到，例如：如何选择最经济的路线？如何计算最优的投资方案？

函数单调性的几何意义函数单调性反映了函数图