微专题 26　空间角、距离的计算(几何法、向量法).docx

微专题26空间角、距离的计算(几何法、向量法)

高考定位1.以空间几何体为载体考查空间角(以线面角、面面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面位置关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查.高考注重利用向量方法解决空间角问题，但也可利用几何法来求解；2.空间距离(特别是点到面的距离)也是高考题中的常见题型，多以解答题的形式出现，难度中等.

【真题体验】

1.(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台ABCA1B1C1的体积为eq\f(52,3)，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为()

A.eq\f(1,2) B.1C.2 D.3

2.(2024·天津卷)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点.

(1)求证：D1N∥平面CB1M；

(2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；

(3)求点B到平面CB1M的距离.

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【热点突破】

热点一异面直线所成的角

求异面直线所成角的方法

法一(几何法)步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.

法二(向量法)步骤为：①求出直线a，b的方向向量，分别记为m，n；②计算cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)；③利用cosθ＝|cos〈m，n〉|，以及θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求出角θ.

例1(2024·丹东模拟)直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则异面直线BA1与AC1所成角的余弦值为()

A.eq\f(3,4) B.eq\f(\r(13),4)

C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(\r(7),4)

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易错提醒1.利用几何法求异面直线所成的角时，通过平移直线所得的角不一定就是两异面直线所成的角，也可能是其补角.

2.用向量法求异面直线所成的角时，要注意向量夹角与异面直线所成角的范围不同.

训练1(1)(2024·绵阳模拟)三棱柱ABCA1B1C1，底面边长和侧棱长都相等.∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()

A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)

C.eq