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专题24圆内最大张角米勒角问题

故事背景：米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了

如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在

什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个

极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题

又称之为“米勒问题”。

米勒问题：

已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当

C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大

张角或最大视角问题

M

C

ON

AB

米勒定理：

已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当

且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。

M

C

ON

AB

证明：

如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是

圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。

M

C

CD

ON

AB

’’’

在△ACD中ÐADB=ÐACD+ÐDAC

’

所以ÐADB＞ÐACD

又因为ÐACB=ÐADB

’

所以ÐACB＞ÐACD

米勒定理在解题中的应用

常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出

隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、

大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这

类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。

典型例题：

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的

动点，且∠AFE＝90°

（1）证明：△ABF∽△FCE；

（2）当DE取何值时，∠AED最大．

解：

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∵∠AFE＝90°，

∴∠AFB+∠EFC＝90°

∵∠EFC+∠FEC＝90°，

∴∠AFB＝∠FEC，

∴△ABF∽△FCE．

（2）取AE的中点O，连接OD、OF．

∵∠AFE＝∠ADE＝90°，

∴OA＝OD＝OE＝OF，

∴A、D、E、F四点共圆，

∴∠AED＝∠AFD，

∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，

∵△ABF∽△FCE，

ABBF

\=

FCEC

64

\=

4EC

8

\EC=

3

810

\DE=DC-CE=6-=

33

10

\当DE=时，ÐAED的值最大

3

A(-1,0)y=x2-bx-3x

2.如图，O是坐标原点，过点的抛物线与轴的另一个交点为B，与y

轴