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专题24圆内最大张角米勒角问题

故事背景：米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了

如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在

什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个

极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题

又称之为“米勒问题”。

米勒问题：

已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当

C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大

张角或最大视角问题

M

C

ON

AB

米勒定理：

已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当

且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。

M

C

ON

AB

证明：

如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是

圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。

M

C

CD

ON

AB

’’’

在△ACD中ÐADB=ÐACD+ÐDAC

’

所以ÐADB＞ÐACD

又因为ÐACB=ÐADB

’

所以ÐACB＞ÐACD

米勒定理在解题中的应用

常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出

隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、

大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这

类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。

典型例题：

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的

动点，且∠AFE＝90°

（1）证明：△ABF∽△FCE；

（2）当DE取何值时，∠AED最大．

A(-1,0)y=x2-bx-3x

2.如图，O是坐标原点，过点的抛物线与轴的另一个交点为B，与y

轴交于点C，其顶点为D点．

（1）求的值．

b

（2）连BD、CD，动点Q的坐标为(m,1)．

①当四边形BQCD是平行四边形时，求m的值；

②连OQ、CQ，当ÐCQO最大时，求出点Q的坐标．

3.数学概念

若点P在DABC的内部，且ÐAPB、ÐBPC和ÐCPA中有两个角相等，则称P是DABC的“等

角点，特别地，若这三个角都相等，则称”P是DABC的“强等角点”.

理解概念

（1）若点P是DABC的等角点，且ÐAPB=100o，则ÐBPC的度数是o.

（2）已知点D在DABC的外部，且与点A在BC的异侧，并满足ÐBDC+ÐBAC180o，作

DBCD的外接圆O，连接AD，交圆O于点P.当DBCD的边满足下面的条件时，求证：P是

DABC的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）

①如图①，