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奔驰定理与三角形四心

【知识拓展】

1.奔驰定理

如图，已知P为△ABC内一点，则有S1·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S2·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S3·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0(其中S1，S2，S3分别为△PBC，△PAC，△PAB的面积).

证明：设∠APB＝α，∠APC＝β，|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝x，

|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝y，|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝z.

根据三角形正弦定理面积公式得

S1eq\o(PA,\s\up6(→))＋S2eq\o(PB,\s\up6(→))＋S3eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)yzsin[2π－(α＋β)]·eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)xzsinβeq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)xysinαeq\o(PC,\s\up6(→))

＝－eq\f(1,2)yzsin(α＋β)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)xzsinβeq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)xysinαeq\o(PC,\s\up6(→))，①

把①式两边与向量eq\o(PA,\s\up6(→))作数量积得

(S1eq\o(PA,\s\up6(→))＋S2eq\o(PB,\s\up6(→))＋S3eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(PA,\s\up6(→))

＝－eq\f(1,2)x2yzsin(α＋β)＋eq\f(1,2)x2yzsinβcosα＋eq\f(1,2)x2yzsinαcosβ

＝eq\f(1,2)x2yz[－sin(α＋β)＋sinβcosα＋sinαcosβ]＝0.

同理：①式两边与向量eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))作数量积都得0.

但是S1eq\o(PA,\s\up6(→))＋S2eq\o(PB,\s\up6(→))＋S3eq\o(PC,\s\up6(→))不可能同时与eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))三个向量垂直，而eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))也不可能都为0，所以S1eq\o(PA,\s\up6(→))＋S2eq\o(PB,\s\up6(→))＋S3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.

该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志，所以我们把上述结论称为奔驰定理，该定理对于推导出三角形的四心的向量结论有直接的作用.

2.三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明)

(1)点O是△P1P2P3的重心?eq\o(OP1,\s\up6(→))＋eq\o(OP2,\s\up6(→))＋eq\o(OP3,\s\up6(→))＝0?S△P2OP3＝S△P1OP3＝S△P1OP2＝eq\f(1,3)S△P1P2P3；

(2)点O是△P1P2P3的垂心?eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP2,\s\up6(→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝eq\o(OP3,\s\up6(→))·eq\o(OP1,\s\up6(→))?tanP1·eq\o(OP1,\s\up6(→))＋tanP2·eq\o(OP2,\s\up6(→))＋tanP3·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝0?S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝tanP1∶tanP2∶tanP3(△P1P2P3不是直角三角形)；

(3)点O是△P1P2P3的内心?aeq\o(OP1,\s\up6(→))＋beq\o(OP2,\s\up6(→))＋eq\o(cOP3,\s\up6(→))＝0?S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝a∶b∶c(其中a，b，c是△P1P2P3的三边，分别对应角P1，P2，P3)；

(4)点O是△P1P2P3的外心?|eq\o(OP1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP2,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP3,\s\up6(→))|?eq\o(OP1,\s\up6(→))sin2P1＋eq\o(OP2,\s\up6(→))sin2P2＋eq\o(OP3,\s\up6(→))sin2P3＝0?S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝sin