6.3.1-6.3.3 平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）.docVIP

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高一数学《考点?题型?技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)

6.3.1-6.3.3平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示

【考点梳理】

考点一：平面向量基本定理

1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

考点二平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

考点三平面向量的坐标表示

1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).

考点三平面向量加、减运算的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

数学公式

文字语言表述

向量加法

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)

两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和

向量减法

a－b＝(x1－x2，y1－y2)

两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差

已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

【题型归纳】

题型一：基底的概念问题

1．（2021·全国·高一课时练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（）

A．与 B．与

C．与 D．与

2．（2021·全国·高一课时练习）设是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（）

A．与 B．与

C．与 D．与

3．（2021·河北巨鹿中学高一阶段练习）设是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）

A．和 B．和

C．和 D．和

题型二：基底表示向量问题

4．（2021·全国·高一课时练习）我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”

给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则=（）

A． B．

C． D．

5．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（）

A． B．

C． D．

6．（2021·广东高州·高一期末）如图，四边形中，，，则（）

A． B． C． D．

题型三：平面向量基本定理

7．（2021·重庆·西南大学附中高一阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，，则的值为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．（2021·湖南·长沙市湘郡长德实验学校高一阶段练习）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为（）

A． B． C． D．1

9．（2021·江苏·盐城中学高一阶段练习）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（）

A． B． C． D．

题型四：平面向量的坐标表示

10．（2021·重庆实验外国语学校高一期中）设、是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，，则的坐标是（）

A． B． C． D．

11．（2020·四川省遂宁市第二中学校高一期中（理））已知点A，B，O为坐标原点，则下列结论错误的是（）

A．的坐标是 B．，其中

C．若线段AB的中点为M，则 D．在上的投影是

12．（2021·云南·昆明八中高一期中）已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值为（）.

A． B． C． D．

题型五：由向量线性运算结果求参数

13．（2021·全国·高一课前预习）已知=(-5，6)，=(-3，2)，=(x，y)，若-3+2=0，则等于（）

A．(-2，6) B．(-4，0)

C．(7，6) D．(-2，0)

14．（2021·全国·高一课时练习）已知，若，则实数对，为（）

A． B． C． D．无数对

15．（2021·全国·高一课时练习）已知在直角梯形A