高一数学讲义（人教A版2019）44对数函数（十三大大题型）.docx

4．4对数函数

目录

TOC\o12\h\z\u【题型归纳目录】 2

【思维导图】 3

【知识点梳理】 3

【典型例题】 5

题型一：对数函数定义的判断 5

题型二：利用对数函数的定义求参数 7

题型三：求对数函数的表达式 9

题型四：对数型函数过定点问题 10

题型五：对数函数的图象问题 11

题型六：对数函数的定义域 14

题型七：对数函数的值域与最值 17

题型八：对数函数的单调性及其应用 19

题型九：比较指数幂的大小 21

题型十：解对数型不等式 23

题型十一：判断对数函数的奇偶性 25

题型十二：反函数 30

题型十三：对数函数性质的综合应用 32

【题型归纳目录】

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点一、对数函数的概念

1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为．

2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：

（1）系数为1；

（2）底数为大于0且不等于1的常数；

（3）对数的真数仅有自变量．

知识点诠释：

（1）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．

（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．

知识点二、对数函数的图象与性质

图象

性质

定义域：

值域：

过定点，即时，

在上增函数

在上是减函数

当时，，

当时，

当时，，

当时，

知识点诠释：

关于对数式的符号问题，既受．．的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考．

以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，．

知识点三、底数对对数函数图象的影响

1、底数制约着图象的升降．

如图

知识点诠释：

由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．

2、底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）

知识点四、反函数

1、反函数的定义

设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．

由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．

知识点诠释：

并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．

2、反函数的性质

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．

（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．

【典型例题】

题型一：对数函数定义的判断

【典例11】（2024·高一·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（????）

A．（且） B．

C． D．（且）

【答案】B

【解析】根据对数函数的定义且,

分析A,B,C,D函数形式，

函数为对数函数.

故选：B.

【典例12】下列函数中是对数函数的为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数.

故选：D.

【方法技巧与总结】

判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：

（1）系数为1；

（2）底数为大于0且不等于1的常数；

（3）对数的真数仅有自变量．

【变式11】（2024·高一·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【解析】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数；

②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量；

③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；

④是对数函数．

故选：A

【变式12】下列函数是对数函数的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】在对数函数的定义表达式（且）中，前面的系数必须是1，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数，

所以只有选项C满足定义.

故选：C.

【变式13】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（????）

A．①②③ B．③④⑤

C．③④ D．②④⑥

【答案】C

【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，

其中x是自变量，a是常数，

易知，①是指数函数；②中的