概率统计第十五讲.ppt

2.协方差性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数证:Cov(aX,bY)=E(aXbY)-E(aX)E(bY) =abE(XY)-aE(X)bE(Y) =ab[E(XY)-E(X)E(Y)] =abCov(X,Y)第5页,共17页，星期六，2024年，5月(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);证:Cov(X+Y，Z)=E[(X+Y)Z]-E(X+Y)E(Z) =E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z) =Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)(5)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).证:由方差性质(3)的证明过程有注:D(X-Y)=D[X+(-Y)]=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)第6页,共17页，星期六，2024年，5月方差与协方差的定义期望、方差、协方差的性质对比不相关与独立切比雪夫不等式第7页,共17页，星期六，2024年，5月期望、方差、协方差的性质对比期望方差协方差E(c)=CD(c)=0Cov(c,X)=0E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)当X与Y独立时E(XY)=E(X)E(Y)第8页,共17页，星期六，2024年，5月EX:设随机变量X?B（12,0.5),Y?N(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差第9页,共17页，星期六，2024年，5月二.相关系数1.定义若r.v.X，Y的方差和协方差均存在,且DX0,DY0，则称为X与Y的相关系数.注：若记称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且第10页,共17页，星期六，2024年，5月2.相关系数的性质(1)|?XY|?1；(2)|?XY|=1?存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X与Y不相关??XY=0;1.设(X,Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数D1x=y解第11页,共17页，星期六，2024年，5月D1第12页,共17页，星期六，2024年，5月以上EX的结果说明了什么？解1)2)第13页,共17页，星期六，2024年，5月可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。第14页,共17页，星期六，2024年，5月4.4矩、协方差矩阵1.K阶原点矩Ak=E(Xk),k=1,2,…而E(|X|k)称为X的K阶绝对原点矩；2.K阶中心矩Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…而E|X-E(X)|k称为X的K阶绝对中心矩；3.K+l阶混合原点矩E(XkYl),k,l=0,1,2,…；4.K+l阶混合中心矩E{[X?E(X)]k[Y?E(Y)]l},k,l=0,1,2,…；第15页,共17页，星期六，2024年，5月5.协方差矩阵1.定义设X1，…,Xn为n个r.v.,记cij=Cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.则称由cij组成的矩阵为随机变量X1，…,Xn的协方差矩阵C。即P94n维正态分布及性质（看书！）第16页,共17页，星期六，2024年，5月 设(X,Y)服从N(1,0,32,42,-0.5)分布， Z=X/3+Y/2 1)求Z的期望与方差; 2)求X与Z的相关系数; 3)问X与Z是否相互独立？为什么？ (3)由(2),X与Z独立.第17页,共17页，星期六，2024年，5月3.3协方差，相关系数

一.协方差定义与性质1.协方差定义(P129)若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称Cov(X,Y)=E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}.为X与Y的协方差,易见Cov(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).当Cov(X,Y)=0时，称X