湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期1月综合自主测试数学试卷（含答案）.docxVIP

2025年

湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期1月综合自主测试数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为(????)

A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差

2.已知集合A=?5,?1,1,5，B=xaxa+3，若A∩B中有2个元素，则实数a的取值范围是

A.?2,?1 B.?2,?1 C.?2,2 D.?5,?1

3.已知数列an是等差数列，若s、t、p∈N?，则“2at=

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.函数fx=cosx?ln2

A. B.

C. D.

5.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米(米均匀分布在米斗中)，则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为(????)

A.392?1 B.372?1

6.已知函数f(x)=sinωx+2cos2ωx2(ω0)在区间

A.0,4 B.0,23∪83,4

7.已知数列an满足a1=1,an+1=an1+

A.32S1003 B.3S

8.已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若AB=CD=2，则CA→?CB→

A.6 B.12 C.24 D.32

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数z1，z2，z3，下列说法正确的有

A.若z1z1=z2z2，则|z1|=|z2| B.若z12

10.已知二项式ax2+1xn(其中

A.n的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素

B.若当n取最大值时常数项为30，则a=±2

C.若当n取最小值时函数fx=ax2+1xn的图象在点

11.对于x∈[0,1],f(x)满足f(x)+f(1?x)=1,f(x)=2f(x3)，且对于0?x1?

A.i=1100fi100=1012 B.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设α,β是空间中两个不同的平面，a，b，c是空间中三条不同的直线，α//β,a?α,b?β,c⊥a,c⊥b，给出下列五个结论，请写出一个一定正确结论的序号??????????.①a//b；②a,b是异面直线；③a,b没有公共点；④a与β没有公共点；⑤c⊥α．

13.已知双曲线C:x2a2?y2b2=1a0,b0的左焦点为F，过F的直线l交圆x2+y2=a

14.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数a，n(n≥2)，若存在一个整数x，使得n整除x2?a，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数a，记事件A=“a与12互质”，B=“a是12的二次非剩余”，则P(A)=??????????.;P(B|A)=??????????．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知函数fx=aex+x+2，曲线y=f

(1)求实数a的值；

(2)若对于任意x∈e,+∞,fx≤λx

16.(本小题12分)

“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用2n?1(n?2,n∈N?)局n胜的单败淘汰制，即先赢下n局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为p(0p1)

(1)若n=2，p=23，设比赛结束时比赛的局数为X，求

(2)设采用3局2胜制时乙获胜的概率为P2，采用5局3胜制时乙获胜的概率为P3，若P3

17.(本小题12分)

如图，在底面为正方形的四棱锥E?ABCD中，∠EAB=60°，∠EAD=45

(1)求证：AB⊥平面BCE．

(2)若EF=λAB(λ0)，且三棱锥F?BCE?的?

①求点C到平面AEF的距离；

②求平面AEF与平面BCF所成二面角的正弦值．

18.(本小题12分)

已知抛物线C:x2=2