《线性代数》 课件 黄先开 第4章 线性方程组 .pptx

《线性代数》课件;第四章线性方程组;第四章线性方程组;个方程个未知量的线性方程组的一般形式为

(4.1)

;

令，则线性方程组(4.1)可写成如下向量形式:

(4.3);定理2非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是，

非齐次线性方程组有无穷多解的充分必要条是．;充分性．设有两个表示式

，

两式相减得

．

因为，所以向量组线性无关，于是有

，

即．

故表示式是唯一的，意味着非齐次线性方程组有唯一解．;例1解方程组

;;当且时，，方程组有唯一解，且解为

．

;令，，故一般解为

（其中，为任意常数）．

;对于齐次线性方程组(4.4)，只有零解的充分必要条件是向量组线性无关，即；有非零解的充分必要条件是向量组线性相关，即．于是我们有下面的定理:;下面考虑列昂惕夫提出的一种更简单的“交换模型”．;解部门所在的列表示它的产出去向，所在的行表示它从哪些部门获得了投入。以表中第一行为例，煤炭部门接受了40%的电力产出和60%的钢铁产出，因此煤炭部门的总支出是．

为使煤炭部门的总收入等于它的总支出，有

．;对方程组的系数矩阵作初等行变换，得

．;一、齐次线性方程组解的性质;;证因为是的两个解，所以，而

，

即仍为的解．

根据上述性质，容易推出：若是的p个解，则线性组合仍为的解，其中