《线性代数》测验 第3、4章 n维向量线性方程组_答案.pdf

《线性代数》第三、四章维向量线性方程组测验题——答案

n

一、选择题（每题5分，共25分）

1、设,,,均为维向量，以下结论不正确的是【nB】

12s

(A)若对于任意一组不全为零的数k,k,,k,都有kkk0,

12s1122ss

则向量组,,,线性无关

12s

(B)若向量组,,,线性相关，则对于任意一组不全为零的数k,k,,k都

12s12s

有kkk0

1122ss

(C)向量组,,,线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s

12s

(D)向量组,,,线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关

12s

解：(A)正确，线性无关的定义

(B)错误，不是“任意一组不全为零的数”，而是“存在一组……”即可

(C)正确，向量组线性无关的判定方法之一

(D)正确，整体组无关，则部分组无关

2、若向量组,,线性无关，向量组,,线性相关，则【C】

(A)向量必可由向量组,,线性表示

,,

(B)向量必不可由向量组线性表示

(C)向量必可由向量组,,线性表示

(D)向量必不可由向量组,,线性表示

TTTT

解：(A)错误，例如(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0).

(B)错误，例如

TTTT

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),0·.

(C)正确，因为向量组,,线性无关，则,一定线性无关，而线性相关

向量组,,线性相关，所以根据定理3.7可知可由,唯一地线性表示，再

加上0即可。从而(D)错误。

3、设n阶方阵A的秩rn,则在A的n个行向量中【A】

(A)必有r个行向量线性无关

(B)任意r个行向量均可构成极大无关组

(C)任意个行向量线性无关r

(D)任一行向量可由其他r个行向量线性表示

4Ar(A)mn,Im

、设矩阵的秩为维单位矩阵，下述结论正确的是

mnm

【Ｃ】

(A)Am

矩阵的任意个列向量必线性无关；

(B)Am

矩阵的任意一个阶子式不等于零；

(C)若矩阵B满足BAO,则BO;

(D)通过初等行变换，必可将Ａ化为I,O的形式。

m

TT

解：(C)的证明：设矩阵B为sm矩阵，因为BAO,所以(BA)O,即

TTTTT

ABO,其中为矩阵，为矩阵.现将进行列分块，记为