2025高考数学考二轮专题型专项练5解答题组合练(b)-专项训练【含答案】.docx

2025高考数学考二轮专题型专项练5解答题组合练(b)-专项训练

1.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,满足6Sn=an·an+1+2(n∈N*),a12,

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=(-1)nlg(an·an+1),记数列{bn}的前n项和为Tn,求T33.

2.数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形ABC,再分别以点A,B,C为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角形.如图,已知AB=2,O为BC中点,点P,Q分别在AC,AB上,设∠PBC=∠ACQ=

(1)当θ=π6时,求|PQ|

(2)求OP·OQ

3.向“新”而行,向“新”而进,新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用为例,人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora),能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响,某学校研究小组随机抽取了120名视频从业人员进行调查,结果如下表所示.

Sora的应用情况

视频从业人员

合计

减少

未减少

应用

70

75

没有应用

15

合计

100

120

(1)根据所给数据完成上表,依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关?

(2)某公司视频部现有员工100人,公司拟开展Sora培训,分三轮进行,每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为23,12,1

①求员工经过培训能应用Sora的概率;

②已知开展Sora培训前,员工每人每年平均为公司创造利润6万元;开展Sora培训后,能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元;Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要,计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门,然后开展Sora培训,现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润,则视频部最多可以调多少人到其他部门?

附:χ2=n(ad-

α

0.010

0.005

0.001

xα

6.635

7.879

10.828

4.定义:若椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上的两个点A(x1,y1),B(x2,y2)满足x1x2a2+y1y2b2=0,则称A,B为该椭圆的一个“共轭点对”,记作[

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求“共轭点对”[A,B]中点B所在直线l的方程;

(3)设O为坐标原点,点P,Q在椭圆C上,且PQ∥OA,(2)中的直线l与椭圆C交于两点B1,B2,且点B1的纵坐标大于0,设四点B1,P,B2,Q在椭圆C上逆时针排列.证明:四边形B1PB2Q的面积小于83.

5.已知函数f(x)=a(x2-x)-lnx(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)证明:当x1时,2e

题型专项练5解答题组合练(B)答案

1.解(1)设等差数列{an}的公差为d,则由6Sn=an·an+1+2,得6Sn-1=an-1·an+2(n≥2),

相减得6(Sn-Sn-1)=an(an+1-an-1),

即6an=an·2d(n≥2).

又an0,所以d=3.

由6S1=a1·a2+2,得6a1=a1·(a1+3)+2,

解得a1=1(a1=2舍去),

由an=a1+(n-1)d,得an=3n-2.

(2)bn=(-1)nlg(an·an+1)=(-1)n(lgan+lgan+1),

T33=b1+b2+b3+…+b33=-lga1-lga2+lga2+lga3-lga3-lga4+…-lga33-lga34=-lga1-lga34=-lg100=-2.

2.解(1)当θ=π6时,BP与CQ交于点M,连接OQ,OP,则∠QMP=∠BMC=2π3,BM=23=2

所以QP=3(2-233)=23-2,即|PQ|=23-

(2)OP·OQ=(OB+BP)·(OC+CQ)=-1+OB·CQ+BP·OC+BP·CQ=-1+2cos(π

=2(12cosθ+32sinθ)+2cosθ-3=3sinθ+3cosθ-3=23sin(θ+π3)-3,θ∈

因为θ+π3∈[π3,2π3],故sin(θ+π3)∈[32,1],则OP·OQ∈[0,23

3.解(1)依题意,2×2列联表如下.

Sora的应用情况

视频从业人员

合计

减少

未减少

应用

70

5

75

没有应用

30

15

45

合计

100

20

120

零假设H0:Sora的应用与视频从业人员的减少无关,

由列联表中数据得,χ2=120×(70×15-30×5)2100×

根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关,此