2025年高考数学二轮复习 专题4.5 平面向量的数量积及其应用【八大题型】（讲义）（举一反三）（新高考专用）（原卷版）.pdf

专题4.5平面向量的数量积及其应用【八大题型】

【新高考专用】

1、平面向量的数量积及其应用

平面向量的数量积是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，试题主要以选择题、填空题的形式呈

现，其中平面向量的数量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容，难度中等，有时会与

三角函数、平面几何等相结合命题.学生在高考复习中应注意加强对向量的数量积、数量积的坐标表示的掌

握，能灵活求解.

【知识点1平面向量数量积的求解方法】

1．平面向量数量积的两种运算方法

(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关

计算问题；

(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.

【知识点2数量积的两大应用】

1．夹角与垂直

根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，

可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.

2．向量的模的求解思路：

(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；

(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；

(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利

用余弦定理等方法求解.

【知识点3向量数量积综合应用的方法和思想】

1．向量数量积综合应用的三大解题方法

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应

的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来

进行求解.

(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以

向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.

【知识点4极化恒等式】

1．极化恒等式的证明过程与几何意义

(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

rrrrrr

2222

|a+b|+|a-b|=2(|a|+|b|).

uuurruuurruuurrruuurrr

证明：不妨设AB=a,AD=b，则AC=a+b，DB=a-b，

uuur2uuur2rr2r2rrr2

AC=AC=a+b=a+2a×b+b①，

uuur2uuur2rr2r2rrr2

DB=DB=a-b=a-2a×b+b②，

①②两式相加得：

uuur2uuur2r2r2uuur2uuur2

AC+DB=2a+b=2AB+AD.

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：1érr2rr2ù————极化恒等式

êa+b-a-bú

4ëû

平行四边形模式：rr1é22ù.

a×b=4ëAC-DBû

(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

1

方差的．

4

【方法技巧与总结】

1．平面向量数量积运算的常用公式

(1)；

(2)