《函数和极限》课件.pptVIP

函数和极限

课前反思你对函数和极限有什么了解？你之前学习过哪些相关知识？你希望从这节课学到什么？

函数的概念函数是一个将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的对应关系。函数可以被定义为一个规则，它将一个输入值（自变量）映射到一个唯一的输出值（因变量）。函数的定义域是指自变量可以取值的集合，而值域是指因变量可以取值的集合。

函数的分类1显函数用公式直接表达，例如y=f(x)2隐函数用方程表示，例如x^2+y^2=13参数方程用一个或多个参数表示函数的坐标，例如x=t^2,y=t^3

初等函数幂函数y=xn(n∈Q)指数函数y=ax(a0且a≠1)对数函数y=logax(a0且a≠1)三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx

初等函数性质单调性函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也随之增大，则称该函数在这个区间内是单调递增的。奇偶性对于定义域关于原点对称的函数，如果对于任意的自变量x，都有f(-x)=f(x)，则称该函数为偶函数；如果对于任意的自变量x，都有f(-x)=-f(x)，则称该函数为奇函数。周期性对于一个函数，如果存在一个非零常数T，使得对于任意的自变量x，都有f(x+T)=f(x)，则称该函数为周期函数，T称为该函数的周期。对称性如果函数图像关于直线x=a对称，则称该函数为关于直线x=a对称函数；如果函数图像关于点(a,b)对称，则称该函数为关于点(a,b)对称函数。

函数的图像线性函数直线二次函数抛物线指数函数曲线

函数的运算1加法f(x)+g(x)2减法f(x)-g(x)3乘法f(x)*g(x)4除法f(x)/g(x)

函数的复合定义将一个函数的输出作为另一个函数的输入，构成新的函数。符号用“°”表示复合运算，例如：f°g(x)=f(g(x))。例子若f(x)=x^2,g(x)=x+1，则f°g(x)=(x+1)^2。

反函数1定义如果函数f(x)是单调的，则存在一个反函数f-1(x),使得f(f-1(x))=x,且f-1(f(x))=x.2性质反函数的图像关于直线y=x对称.3求解通过将函数方程中的x和y互换，然后解出y，就可以得到反函数f-1(x).

函数的基本性质单调性函数的单调性是指函数值随自变量的变化而变化的趋势如果函数值随着自变量的增大而增大，则函数在该区间上是单调递增的如果函数值随着自变量的增大而减小，则函数在该区间上是单调递减的函数的奇偶性是指函数值关于原点对称还是关于纵轴对称

函数极限的概念函数极限的概念是微积分中最基础的概念之一。它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于另一个值的趋势。函数极限的概念可以帮助我们理解函数在某一点附近的行为，以及如何用极限来定义导数、积分等更复杂的微积分概念。

极限的性质唯一性如果极限存在，那么极限值是唯一的。有界性如果极限存在，那么函数在极限点附近是有界的。保号性如果极限大于零，那么函数在极限点附近也是大于零的。

极限的计算1直接代入法当函数在极限点处连续时，可以直接代入极限点计算极限值。2化简法通过化简函数，消去极限点处的无穷大或零，从而求出极限值。3等价无穷小替换法用等价无穷小替换函数中某些部分，简化计算，从而求出极限值。4洛必达法则当函数在极限点处为0/0或无穷大/无穷大时，可以通过洛必达法则求解极限。

极限的应用函数的连续性极限是定义函数连续性的基础，连续函数在微积分中扮演着重要角色。微积分基本定理极限是微积分基本定理的核心概念之一，它将微分和积分联系起来。级数的收敛性利用极限的概念可以判断无穷级数的收敛性，从而解决许多实际问题。

无穷小的概念在数学分析中，无穷小是指当自变量趋于某个值（或无穷大）时，其函数值趋于零的变量。也就是说，无穷小是趋于零的变量，但不是零。

无穷小的性质加减性两个无穷小之和仍为无穷小。乘积性无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小。商性无穷小与非零常数的商仍为无穷小。

无穷小的运算1加减两个无穷小的和或差仍为无穷小。2乘法无穷小与有界量的乘积仍为无穷小。3除法两个无穷小的商，如果分母不为零，则极限存在，为一个常数或无穷大。

洛必达法则极限形式针对0/0或∞/∞形式的极限导数计算对分子分母分别求导极限求解重新计算导数后的极限

极限计算技巧总结1直接代入如果函数在极限点处连续，则可直接将极限点代入函数求值。2等价无穷小替换当遇到含0/0或∞/∞不定式的极限时，可以利用等价无穷小替换化简。3洛必达法则对于0/0或∞/∞型不定式，可以利用洛必达法则求解。4利用函数性质利用函数的单调性、有界性、周期性等性质进行计算。

极限的应用物理计算速度、加速度、面积、体积等经济学研究市