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以高等数学知识为背景的导数问题
高考定位1.导数解答题与高等数学知识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐成为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.常见的高等数学知识除了前面学习过的泰勒公式与洛必达法则、还有拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微积分、帕德近似等.
【题型突破】
题型一拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理
例1(2024·济宁模拟)已知函数f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2＋eq\f(1,2)(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若0x1x2，证明：对任意a∈(0，＋∞)，存在唯一的实数ξ∈(x1，x2)，使得f′(ξ)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)成立；
(3)设an＝eq\f(2n＋1,n2)，n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn.证明：Sn2ln(n＋1).
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规律方法1.本题第二问实际上是拉格朗日中值定理，其内容如下
若函数f(x)满足如下条件：
(1)f(x)在闭区间[a，b]上连续；
(2)f(x)在开区间(a，b)内可导.
则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)＝eq\f(f（b）－f（a）,b－a).
2.解决以拉格朗日中值定理为背景的问题的一般步骤
(1)研究f(x)的单调性；
(2)自定义x1，x2的大小，并判断f(x1)、f(x2)的大小，去掉分母或绝对值；
(3)构造新函数F(x)，转化为新函数的单调性或最值解决问题.
训练1罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理.罗尔定理描述如下：如果R上的函数f(x)满足以下条件：①在闭区间[a，b]上连续，②在开区间(a，b)内可导，③f(a)＝f(b)，则至少存在一个ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0.据此，解决以下问题：
(1)证明方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)内至少有一个实根，其中a，b，c∈R；
(2)已知函数f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围.
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