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现代概率论与高中概率统计的融合问题

高考定位与概率统计有关的创新问题主要有两个类型：(1)以高等数学知识为背景的问题；(2)概率、统计方法的新定义问题.

【题型突破】

题型一极大似然估计问题

例1(2024·杭州二模)在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球n次，红球出现m次.假设每次摸出红球的概率为p，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p的估计值为eq\o(p,\s\up6(^))＝eq\f(m,n).

(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3，不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为Y，则Y～B(3,p).

(注：Pp(Y＝k)表示当每次摸出红球的概率为p时，摸出红球次数为k的概率)

①完成下表：

k

0

1

2

3

Peq\f(1,4)(Y＝k)

eq\f(27,64)

eq\f(1,64)

Peq\f(3,4)(Y＝k)

eq\f(9,64)

eq\f(27,64)

②在统计理论中，把使得Pp(Y＝k)的取值达到最大时的p，作为p的估计值，记为eq\o(p,\s\up6(^))，请写出eq\o(p,\s\up6(^))的值.

(2)把(1)中“使得Pp(Y＝k)的取值达到最大时的p作为p的估计值eq\o(p,\s\up6(^))”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.

具体步骤：先对参数θ构建对数似然函数l(θ)，再对其关于参数θ求导，得到似然方程l′(θ)＝0，最后求解参数θ的估计值.已知Y～B(n，p)的参数p的对数似然函数为l(p)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))Xilnp＋eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))(1－Xi)ln(1－p)，其中Xi＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，第i次摸出白球，,1，第i次摸出红球.))求参数p的估计值，并且说明频率估计概率的合理性.

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规律方法极大似然估计是一种基于概率理论的方法，用于估计一个概率模型的参数，使得观测到的数据在该模型下出现的概率最大.换句话说，它寻找的是使我们观察到的数据最有可能发生的参数值，解决此类问题一般要利用导数与函数的性质.

训练1(2024·长沙调研)某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为eq\f(1,2)，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.

(1)若P(X＝5)＝P(X＝95)，求数学期望E(X)；

(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数θ(0θ1)的取值有关.团队A提出函数模型为p＝ln(1＋θ)－eq\f(2,3)θ2，团队B提出函数模型为p＝eq\f(1,2)(1－e－θ).现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量Xi(i＝1，2，…，10)表示第i组被感染的白鼠数，将随机变量Xi(i＝1，2，…，10)的实验结果xi(i＝1，2，…，10)绘制成频率分布图，如图所示.

①试写出事件“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝