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微专题17与平面向量有关的最值、范围问题

高考定位1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档；2.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围.

【真题体验】

1.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为()

A.3 B.2eq\r(2)

C.eq\r(5) D.2

2.(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝eq\r(2)，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的最大值为()

A.eq\f(1＋\r(2),2) B.eq\f(1＋2\r(2),2)

C.1＋eq\r(2) D.2＋eq\r(2)

3.(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝eq\f(1,2)DE，eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DG,\s\up6(→))的最小值为________.

4.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则eq\o(PA,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＋eq\o(PA,\s\up6(→))eq\o\al(2,2)＋…＋eq\o(PA,\s\up6(→))eq\o\al(2,8)的取值范围是________.

【热点突破】

热点一向量模的最值、范围

向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.

例1(1)已知单位向量a，b满足|a－b|＋2eq\r(3)a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为()

A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),2)

C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)

(2)(2024·长沙质检)已知a，b，c都是平面向量，且|a|＝|4a－b|＝1，若〈a，c〉＝eq\f(π,6)，则|b－c|的最小值为()

A.1 B.eq\r(3)

C.2 D.3

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规律方法模的范围或最值常见方法

(1)通过|a|2＝a2转化为实数问题；(2)数形结合；

(3)坐标法.

训练1(1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为()

A.4 B.5

C.6 D.7

(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值为________.

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