《函数极限与性质》课件.pptVIP

函数极限与性质

课程目标1理解函数极限的概念掌握函数极限的定义、存在条件、性质和计算方法。2运用极限的运算规则熟练运用极限的运算规则计算常见函数的极限。3掌握连续函数的概念和性质理解连续函数的定义、性质以及分类，并能判断函数的连续性。4应用函数极限和连续性将函数极限和连续性应用于实际问题，例如求曲线切线、计算面积等。

函数极限的定义定义当自变量x趋近于某个值a时，函数值f(x)趋近于某个确定的值A，则称函数f(x)在x趋近于a时有极限，记为：

limx→af(x)=A意义描述了函数在自变量趋近于某一点时，函数值的变化趋势。它为研究函数在该点附近的性质奠定了基础。

函数极限存在的条件函数极限存在的必要条件左右极限相等函数极限不存在的例子左右极限不相等，例如sin(1/x)在x趋近于0时极限不存在

函数极限的性质唯一性:当函数极限存在时，该极限值是唯一的。保号性:如果函数在某点附近的值都大于零，则该点的极限也大于零。和差性:两个函数的和或差的极限等于它们的极限的和或差。积性:两个函数的积的极限等于它们的极限的积。

极限的运算规则常数与极限常数的极限等于它本身：limx→ac=c极限的加减法两个函数的极限的和等于它们分别的极限的和：limx→a[f(x)±g(x)]=limx→af(x)±limx→ag(x)极限的乘法两个函数的极限的积等于它们分别的极限的积：limx→a[f(x)·g(x)]=limx→af(x)·limx→ag(x)极限的除法两个函数的极限的商等于它们分别的极限的商，前提是除数的极限不为零：limx→a[f(x)/g(x)]=limx→af(x)/limx→ag(x)(limx→ag(x)≠0)

函数极限的计算方法1直接代入法直接将趋近的值代入函数表达式2因式分解法将函数表达式进行因式分解，消去零因子3等价无穷小替换法用等价无穷小替换函数中的某些部分4洛必达法则当函数的极限为0/0或∞/∞时，可使用洛必达法则

一些典型的极限计算极限的计算是函数极限研究中的重要环节。通过掌握一些典型的极限计算方法，我们可以有效地解决各种极限问题。常见的典型极限计算包括：无穷小量的极限分式函数的极限三角函数的极限指数函数的极限对数函数的极限

函数极限的几何意义函数极限的概念与图形图像紧密相连，它揭示了函数在自变量趋于某一点时的趋势。从几何角度来看，函数极限描述了曲线在该点附近的趋势。若函数在自变量趋于某一点时，函数值趋于一个确定的数值，则称该数值为函数在该点的极限。几何上，这意味着曲线在该点附近无限接近于一条水平线，该水平线就是函数的极限值。

函数极限的重要应用微积分函数极限是微积分的基础，用于定义导数、积分等基本概念。物理学函数极限用于描述物理量的变化趋势，例如速度、加速度、能量等。经济学函数极限用于分析经济模型，例如市场均衡、价格变化、供求关系等。

连续函数的定义定义若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，且lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。直观理解在点x0处，函数图像没有断裂，可以“一笔画”过去，即函数值的变化是“连续”的。

连续函数的性质1介值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对于介于f(a)和f(b)之间的任意实数y，必存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=y。2最大值最小值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必取得最大值和最小值。3零点定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)0，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=0。

间断函数的分类可去间断点函数在该点可以重新定义，使其连续。跳跃间断点函数在该点左右极限存在，但值不相等。无穷间断点函数在该点左右极限至少有一个为无穷大。

间断点的判定定义若函数在某点处不连续，则称该点为函数的间断点。类型间断点可分为三类：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。判定通过分析函数在该点左右极限是否存在，以及是否相等，来判断间断点的类型。

初等函数的连续性多项式函数在定义域内处处连续有理函数在定义域内除分母为零的点外，处处连续指数函数在定义域内处处连续对数函数在定义域内处处连续

复合函数的连续性内函数连续如果内函数在某一点连续，那么复合函数在该点也连续。外函数连续如果外函数在内函数的函数值处连续，那么复合函数在该点也连续。

函数的间断点及其分类第一类间断点可去间断点：函数在该点存在左右极限且相等，但函数值不存在或不等于左右极限。第