《函数极限和连续》课件.pptVIP

函数极限和连续本课程将介绍函数极限和连续的概念，以及它们的应用。

函数极限的定义和性质函数极限的定义当自变量趋于某个值时，函数值无限接近于某个常数，这个常数就叫做函数的极限。极限的性质极限运算满足加减乘除的运算法则，以及一些重要的性质，如夹逼定理、单调有界定理等。

利用函数极限判断连续性1定义若函数f(x)在点x0的极限存在，且等于函数在该点的函数值，则称函数f(x)在点x0连续2判断当函数在某点存在极限且极限值等于函数值时，函数在该点连续3应用利用函数极限判断函数的连续性，可以帮助我们理解函数的性质和特点

间断点的分类可去间断点函数在该点存在极限，但函数值与极限值不相等。跳跃间断点函数在该点左右极限存在，但左右极限不相等。无穷间断点函数在该点左右极限至少有一个为无穷大。

连续函数的性质1介值定理如果一个函数在闭区间上连续，那么它在这个区间内取到介于函数在区间端点处取值之间的任何值。2最大值最小值定理如果一个函数在闭区间上连续，那么它在这个区间内一定存在最大值和最小值。3一致连续性如果一个函数在闭区间上连续，那么它在这个区间上是一致连续的，即对于任何一个正数，都存在一个正数，使得当两个点之间的距离小于时，函数值之间的距离小于。

函数的连续性判断1直接法直接利用函数极限的定义和性质，判断函数在一点是否连续.2间断点法通过判断函数在一点是否存在间断点，来判断函数在该点是否连续.3复合函数法利用复合函数的连续性定理，判断函数在一点是否连续.

复合函数的连续性定义若函数y=f(u)在点u0处连续，且函数u=g(x)在点x0处连续，且u0=g(x0)，则复合函数y=f(g(x))在点x0处连续。性质复合函数的连续性依赖于其各个部分函数的连续性。若f(u)或g(x)在对应点处不连续，则复合函数f(g(x))在点x0处也不连续。

反函数的连续性连续性如果函数在某个点连续，那么它的反函数在对应点也连续。单调性函数在其定义域内必须单调，才能保证反函数的存在。

初等函数的连续性基本初等函数基本初等函数是指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。这些函数在定义域内都是连续的。初等函数的连续性由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数称为初等函数。初等函数在定义域内通常都是连续的，除非出现分母为零或根号下为负数的情况。

函数的单调性和有界性1单调性函数的单调性反映了函数值随自变量的变化趋势。2有界性函数的有界性描述了函数值的变化范围。3重要概念单调性和有界性是分析函数性质的重要工具。

夹逼定理及应用1定理内容如果当x趋近于a时，f(x)≤g(x)≤h(x)，且limf(x)=limh(x)=A，则limg(x)=A2应用场景计算难以直接求极限的函数极限，如三角函数的极限3重要性在求解极限和证明极限存在性时，夹逼定理是一个强大的工具

函数极限存在的必要条件如果函数f(x)在点x0处有极限，那么对于任何两个趋于x0的数列xn和yn，只要它们都满足lim(n-∞)xn=lim(n-∞)yn=x0，则lim(n-∞)f(xn)和lim(n-∞)f(yn)必须相等。例如，函数f(x)=1/x在x=0处没有极限，因为对于两个不同的数列xn=1/n和yn=-1/n，它们都满足lim(n-∞)xn=lim(n-∞)yn=0，但是lim(n-∞)f(xn)=∞和lim(n-∞)f(yn)=-∞。

函数极限存在的充分条件1单调有界准则如果函数在某一点的某个去心邻域内单调有界，则该函数在该点的极限存在。2柯西收敛准则如果函数在某一点的某个去心邻域内满足柯西收敛准则，则该函数在该点的极限存在。

极限的运算法则加法法则lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)减法法则lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)乘法法则lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)除法法则lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)(limg(x)≠0)

无穷大的比较1阶乘阶乘无穷大n!表示从1到n所有正整数的连乘积。2指数指数无穷大a1时，a^n随着n的增大而无限制地增大。3幂函数幂函数无穷大a1,n1时，a^n比n^a更快地趋于无穷大。

洛必达法则极限形式适用于0/0或∞/∞形式的极限。求导对分子和分母分别求导。条件分子和分母都可导，且导数的极限存在。

函数的连续性与可导性函数的连续性如果一个函数在某一点处连续，则表示函数在该点附近的值变化平滑，没有跳跃或间断。函数的